数学解题设而不求法综述

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1、数学解题“设而不求”法综述数学解题中的“设而不求”一种很有用的手段，采用“设而不求”的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果.本文将对“设而不求”的常见类型加以归纳，供参考.。一、中点弦问题，设而不求与弦中点有关的问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系灵活转化，往往能事半功倍.例1.已知双曲线过的直线交双曲线于、两点，若为弦中点，求直线的方程.解：设，则，，两式作差

2、并整理，得又，即代入检验，满足，直线的方程是.二、对称问题，设而不求有的对称问题，以中点为桥梁，利用判别式建立不等关系，求参数的取值范围.例2.已知椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，试确定的取值范围.y=4x+mQPxy解：由题设，有直线与椭圆交于、两点，且、的中点在直线上.由，消去，得①方程①有两不等实根，，解得设，则，又中点在直线上，有，，，.三、转化图形，设而不求有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解.例3.设a、b均为正数，且，求证.证明：设，则u、v同时满

3、足其中表示直线，m为此直线在v轴上的截距是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧（如图1），显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大.由图易得即.四、巧设坐标，设而不求在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果.例4.设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，求证：直线AC经过原点O.证明：设点A（，）、B（，），则点C（，）因为AB过焦点F所以，得又直线OC的斜率直线OA的斜

4、率，则故A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O.五、活用性质，设而不求解题过程中，不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标，经过巧妙构造，活用性质，可直达目标.例5.求证证明:设则由可知：数列为单调递增数列.又则即.六、中介过渡，设而不求根据解题需要，可引入一个中间量作为中介，起到过渡作用，使问题得以解决.例6.如图3，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥体积分成相等的两部分，求圆锥母线与轴的夹角α.解：过点A作SO的垂线，垂足为M，可知∠MAO＝∠AOB＝∠OS

5、B＝α设MA＝x，OB＝r，SO＝h则有化简可得又因为即所以于是，从而.七、恒等变形，设而不求某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效果.例7.求的值.解：设则而，故.八、适当引参，设而不求恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决.例8.已知对任何满足的实数x、y，如果恒成立，求实数k的取值范围.解：设（），则令，得.九、整体代入，设而不求在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体

6、转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决.例9已知等比数列中，，求.解：设公比为q，由于，故于是<2>÷<1>得，则所以