“设而不求法”在中学数学解题中的巧用

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1、例谈“设而不求法”在中学数学解题中的巧用数学的学习离不开解题，数学学习应该以解题为中心，只有在解题中才能消化所学的知识，只有在解题中才能积极地展开数学思维活动，进而达到融会贯通的目的。本文就介绍中学数学学习中一种常见而又重要的解题方法——设而不求法，在解数学题时，有时可以考虑设出某些中间变量，但不必将其求出，而是以它们为过渡，帮助我们解题，这就是设而不求地技巧。它的作用有两个：一是在解题中起桥梁作用，辅助解题；二是因为不直接求出而简化计算。这种方法在解解析几何题时使用较多，如两曲线相交时，对其交点设而不求，从而快

2、速简捷的求出轨迹方程、弦中点坐标等。在数列、立体几何等其他问题中也有应用。为了寻求问题的解决途径，给问题的转化创造必要的条件，常常引进一个或几个起连接作用的辅助元素；把分散的条件集中起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件合结果联系起来，或者转繁难为简易，从而达到转化问题找出解决途径的目的。所以设立辅助元素而不求出也是一种转化的方法。那么在解决实际问题时，怎样从已知条件入手来假设辅助元素呢？这就需要你有扎实的数学基本功，开阔的数学思维能力，对一个问题通过分析条件和特征，从解决问题的需要角度来确定。在使用设而不求

3、的技巧时，常常伴随曲线的定义、几何性质、点参数、曲线系、韦达定理、方程理论、消去法等概念和方法的运用。6下面我们来看几个“设而不求法”在平面解析几何中的具体的应用：1、F1、F2是椭圆（a>b>0）的两个焦点，∠F1PF2=900，则△F1PF2则的面积是多少？思路：设点P坐标，列出方程组，再消去点P坐标。解：设点P坐标为（x0,y0），则由焦半径公式知

4、PF1

5、=a+ex0，

6、PF2

7、=a-ex0。又∵∠F1PF2=900，故有即两式相加得S+c2=a2，∴S=a2—c2=b2。2、要使椭圆上存在两个不同的点，

8、关于直线y=4x+m对称，求实数的取值范围。分析：可设A、B为椭圆上两点，列出方程组并结合直线y=4x+m消元。解：设椭圆上两个不同点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），它们关于直线y=4x+m对称，AB的中点为（x0，y0）。则两式相减并整理，得∴y0=3x0。又y0=4x0+m，故可得AB的中点为（—m，—3m）。∵AB的中点在椭圆内部，∴3（-m）2+4（-3m）2＜12，解得。3、双曲线与椭圆有公共焦点F1（—4，0）和F2（4，0），设e1、e26分别为椭圆和双曲线的离心率，且，求双曲线和椭圆

9、的公共点的轨迹方程。分析：设出双曲线的实轴及椭圆的长轴，再利用双曲线和椭圆的定义。结合条件，消去所设实轴和长轴，从而求得轨迹方程。解：设双曲线和椭圆得公共点为M（x，y），双曲线实半轴为，椭圆得长半轴为。∵椭圆和双曲线有公共焦点（－4，0），（4，0），故有，可得，由双曲线和椭圆的定义可得。去绝对值符号，并化简可得。整理得双曲线和椭圆得公共点的轨迹方程为x2+y2±1x+16=0

10、7x+16=0。yxOPBA4、如图，过P（0，2）作直线交椭圆于两点A、B，使得△AOB的面积为，其中，Ｏ为坐标原点。求该直线的方程。分析：设出Ａ、Ｂ两点的坐标，再利用韦达定理将其消去。解：设过点Ｐ（０，２）的直线为y=kx+2,代入椭圆方程并简化，得(2k+1)x2+8kx+6=0。设点Ａ、Ｂ坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）（y1＞y2），则由S△AOB=S△POB－S△POA，6得。由，可得4k4

11、-32k2+55=0，解得和。故所求的直线有四条，其方程为：，，，。5、过抛物线y2=2px上一个定点A作互相垂直的两直线与抛物线交于P、Q两点（如图）求证：⑴PQ中点M的轨迹仍为抛物线；⑵动直线PQ必过定点，求出定点坐标。思路分析：设出P、Q两点的坐标，列出关系式再利用消去法消去P、Q坐标。证明：⑴设动点P、Q坐标分别为（）、（），定点A的坐标为（）（p，a为常数）则，同理得。依题意，即，整理得⑴又点M坐标满足，即由⑵、⑶得，以⑴代入并整理得再以⑶代入，得，整理得。可见PQ中点M的轨迹仍为抛物线。6⑵动直线PQ

12、的方程为：即化简得（t1+t2）y－x－2pt1t2=0.以－t1t2=a（t1+t2）+a2+1代入并化简，得（t1+t2）（2pa）－[x－2p（a2+1）]=0。可见，动直线PQ过定点（2p（a2+1），－2pa）。特殊地，当t1=t2时，PQ方程为，此时，－t1t2=a2+1，∴直线PQ方程为x=2p（a2+1）。可见它仍过定点（2p（a2+1），－2pa）。设而