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《数学解题设而不求法综述.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数学解题“设而不求”法综述数学解题屮的“设而不求”一种很有用的手段，采用“设而不求”的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果.木文将对“设而不求”的常见类型加以归纳，供参考，一、中点弦问题，设而不求与弦屮点有关的问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在的肓线斜率、弦的屮点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量Z间的关系灵活转化,往往能事半功倍.例1.已知双曲线乂-一丄=1过M（l,l）的直线交双曲线于人、〃两点，若M为弦AB屮点，求肓线的方程.解：设y1),B(x2
2、,y2),则—节两式作差并整理，得才（母+兀2）（“一尤2）-+出）（儿一）‘2）=°代入于于I检验，满足5,.•・直线AB的方程是y=q（x+1）.二、对称问题，设而不求有的对称问题，以屮点为桥梁，利用判别式建立不等关系,求参数的取值范围.V2V2例2.已知椭圆一+——=1上存在两个不同的点关于肓线y=4x+m对称,试确定m的取值范I韦I.解：由题设，有肓线y=-^x+n与椭圆交于P、Q两点，且P、0的屮点（兀0，儿）・・•方程①有两不等实根,rr^.A64宀4x13x（16宀48）>0,解得出亍设PO],yi),Q(兀2，儿)，4
3、/1Ti1儿=_汀°+〃=2n13又PQ屮点在直线y=4x+血上,.・•有空=4•色+加,131313mn=413m22V13132V1313三、转化图形，设而不求有些代数问题，通过挖掘题li中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解.例3.设a、b均为正数，且a+b=l,求证J2a+1+J2b+1<20.证明：设u=』2a+1,v=72b+l(u>1,v>1),u+v=m[u+v=m则u、V同时满足｛^u2+v2=4其屮u+v=m表示氏线，m为此直线在V轴上的截距u2+v2=4是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分
4、圆弧(如图1),显然貞线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大.由图易得mmax=2V2即J2a+1+J2b+1<2V2.四、巧设坐标，设而不求在解析几何问题屮，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭緊的解题效果.例4.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的肓线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上，且BC//X轴，求证：直线AC经过原点O.证明:设点A(2pt；,2pt])、B(2pt；,2pt2),则点C(一号，2pt2)因为AB过焦点F所以2ptj-2pt2=—p2,Wtjt2—
5、——又直线OC的斜率k()c=込=-4t9=-_P-t.2肓线OA的斜率k0A=2ptp°=丄，则koc=k0A2pH-0tj"故A、0、C三点共线，即肓线AC经过原点O・五、活用性质，设而不求解题过程中，不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标，经过巧妙构造，活用性质，可肓达目标.例5.求证-1—+—+•••+—>—(n>2,nwN*)n+1n+22n24、口口盅III13证明：ikxn=++•••+n+1n+22n241111113则x“+i1•+1n+2n+32n2n+12n+224112n+12n+2>011112n
6、+12n+2n+1可知：数列｛x“｝为单调递增数列.则xn>0(n>2,ngN*)即估T+士+…+存詈22,ng).六、中介过渡，设而不求根据解题需要，可引入一个中间量作为中介，起到过渡作用，使问题得以解决.例6・如图3,OA是圆锥底面屮心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲血将圆锥体积分成相等的两部分，求圆锥母线与轴的夹角a.aM上一吠J解：过点A作SO的垂线，垂足为M,可知ZMAO=ZAOB=ZOSB=a设MA贝ij有丄处讣=3"_化简可得（上）2=x,OB=『，SO=h-I1“I232MA_OAOA~OBRI1xOA即cos
7、cr==OAr所以△OArr乂因为COSQ于是cos4a.从而a=arccos—・2V2七、恒等变形，设而不求某些看似I•分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意7T2tf37T8/r例7.求cos一COScos••cos的值.17171717712tt8兀解：设M=cosCOSCOSCOS17171717想不到的效果・N=sin——sin——sinsin——171717177T7t2龙2龙则MN=sin——cos—sin——cos——17171717•2兀.4兀.16兀sin——sinsin1717178龙8
8、龙•••sin——cos——1717一一一一-88I81-21-21-2.71.17T.8兀sin——sinsin——171717•N而NhO,故1=八、适当引参，设而不求恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知
