2.1微分方程的建立

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1、第2章控制系统的数学模型本章的主要内容控制系统的微分方程-建立和求解控制系统的传递函数控制系统的结构图-等效变换控制系统的信号流图-梅逊公式脉冲响应函数各种数学模型的相互转换2、数学模型1）定义：描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间关系的数学表达式就称为控制系统的数学模型。数学模型1、模型可以用来表现事物某些特性的替代物。具体模型抽象模型2）要求：a.能反映所要表达问题的主要特性；b.要满足研究的精度要求；c.数学处理要简化。3、建立方法分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量

2、和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型——适用于简单的系统。a、分析计算法工程实验法是利用系统的输入--输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。b、工程实验法黑盒输入输出但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学

3、模型过于复杂。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。本章只讨论分析计算法建立系统的数学模型。三种数学模型之间的关系4、数学模型的表示形式（经典控制理论中最常用的）b传递函数c频率特性a微分方程拉氏变换傅里叶变换线性系统同一个系统，可以选用不同的数学模型，如研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。2.1控制系统微分方程的建立微分方程微分方程是对控制系统输入输出的描述，是控制系统最基本的数学模型。1、建立系统微分方程的原则1）进行合理的假设与简化。2）能代表所研究系统的主要特性，满足精度要求。2、

4、建立系统微分方程的步骤1）分析系统的工作原理，结构组成，找出相关变量，确定系统的输入输出量。2）建立相关变量间的函数关系。3）消去中间变量，得到仅含输入量和输出量的微分方程。4）将方程整理为规范形式。2.1.1机械系统机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。（是质量m的加速度为）【例2.1.1】机械平动系统如图所示，列写机械运动系统在外力F(t)作用下，位移x(t)的微分方程式。解：根据牛顿第二定律（是弹簧的弹性系数)（是

5、阻尼器的粘性摩擦系数)【例2.1.2】机械转动系统如图，列写外力矩M作用下系统角位移θ的微分方程解：根据机械转动系统的牛顿定律（是阻尼器的阻力力矩)作用与系统的力矩之和（是惯性负载的转动惯量)（是阻尼器的粘性摩擦系数)2.1.2电系统电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电感、电容(无源器件)组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含运算放大器(有源器件)，就称为有源网络。解：根据基尔霍夫定律在这里，令【例2.1.3】列写图示RLC电路在输入下的微分方程。回路

6、1：【例2.1.4】列写图示双回路的RC电路在输入下的微分方程。解：根据基尔霍夫定律回路2：（1）（2）则：在这里，令比较上面两个例子可见，虽然它们为两种不同的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统。RLC串联电路：弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统：[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。相似系统和相似量2.1.3机电系统直流电动机的工作原理直流电动机的工作原理动画【例2.1.5】图示为一他激式直流电动机,试列写以电枢电压

7、为输入、以电动机输出轴角速度为输出变量时系统的微分方程。解：当电枢两端加上电压后，产生电枢电流，电压平衡方程为：电阻电压：（是电枢电阻)电感电压：（是电枢电感)电枢反电动势：（是电动势常数)与角速度成正比机电转速方程为：电动机的电磁转矩：（是电磁转矩常数）与电枢电流成正比机械动力学方程为：（是转动惯量，是总负载力矩)电动机的动力学：由上述(1)、（2）和（3）消去三个中间变量：通常电枢电感较小，故电磁时间常常数可以忽略不计，则如果取电动机的转角作为输出，电枢电压为，考虑到，则电磁时间常数：机电时间常数：电压传递系数：转距

8、传递系数：这里定义：则有：7/1/202122这是一个线性定常二阶微分方程(两个输入)。从数学的角度可以分别考虑单独输入的影响。如当mc=0时，方程为该方程称为空载模型。若再假设电枢电感很小，则这是一个一阶微分方程。若Ra和J都可忽略，则Tm=0,于是说明电机转速与电枢电压成正比，当不考虑电枢电阻和电感时，电枢电压将