控制系统微分方程的建立

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1、§2-1控制系统微分方程的建立要建立一个控制系统的微分方程，首先必须了解整个系统的组成、工作原理,然后根据支配各组成元件的物理定律，列写出整个系统输出变量与输入变量之间关系的动态关系式，即微分方程。列写微分方程的一般步骤如下：①分析系统和各个元件的工作原理，找出各物理量(变量)之间的关系，确定系统和各元件的输入、输出变量。②从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理(或化学等)定律，列写动态关系式，一般为一个微分方程组。③对已建立的原始方程进行数学处理，忽略次要因素，简化原始方程，如对原始方程进行线性化等

2、。④消除中间变量，写出关于输出、输入变量之间关系的数学表达式，即微分方程。下面举例说明建立微分方程的方法和步骤。一、典型元件系统微分方程的建立1．电学系统电学系统中，所需遵循的是元件约束和网络约束，元件约束指电阻、电容、电感等器件的电压——电流关系遵循广义欧姆定律，网络约束指基尔霍夫电压定律和电流定律。例2-1RLC无源网络如图2-1所示，图中R、L、C分别为电阻(Ω)、电感(H)、电容(F)；建立输入电压ur(V)和输出电压uc(V)之间的微分方程。解：根据电路理论中的基尔霍夫定律，可得⎧di()tu()t=Ri()

3、t+L+u()t⎪rcdt⎨(2-1)图2-1RLC无源网络1⎪u()t=()tidtc∫⎩C消去中间变量i(t)，则2()()dutdut()cc()ut=LC+RC+utr2cdtdt(2-2)2LC=T,RC=2ζT令则上式又可以写成如下形式2()()2ductductT+2ζT+u()t=u()t(2-3)2crdtdtζ式中T称为时间常数，单位为秒，称为阻尼系数，无量纲。式（2-3）就是所求得RLC网络的微分方程。2．机械平移运动古典力学系统的运动规律是由牛顿定律来制约的。在求取力学系统的运动方程时，要分析是

4、哪一种运动的平衡，如平移运动、旋转运动、动量平衡等。在分析当中，特别要注意物理单位之间的关系和换算，找到平衡关系，列出平衡方程式。例2-2设弹簧一质量—阻尼器系统如图2-2所示，试列出以F（t）为输入，以质量单元的位移x(t)为输出的运动方程。1图2-2弹簧质量阻尼系统解:由加速度定律2dxma=∑F=m2dt和力为∑F=Fk+Ff+F(t)其中弹性阻力F=−kxk粘滞阻力dxF=−ffdt带入方程有2dxdxm=−kx−f+F(t)2dtdt整理2dxdxm+f+kx=F(t)(2-4)2dtdt这是一种机械平移运动

5、的运动方程，它是一个二阶微分方程。3．机械旋转系统例2-3已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。解：由角加速度方程dωJ=∑Mdt其中，J——转动惯量，ω——旋转角速度，∑M——和力矩，得dωJ=−fω+Mf图2-3机械旋转系统dt其中，M——作用力矩；ffω——阻尼力矩，其大小与转速成正比，负号表示方向与作用力矩方向相反。整理dωJ+fω=Mfdt(2-5)方程的输入变量是作用力矩M，输出变量是旋转角速度ω，则方程是变量关系为M−ωff2的一阶微分方程。如果以转角θ为输出变量，因为dθω=dt代入方程得

6、2dθdθJ+f=M2fdtdt(2-6)式（2-6）即为以转角θ为输出变量的二阶微分方程。4．齿轮系统例2-4试列写图2-4所示齿轮系统的运动方程。图中齿轮1和齿轮2的转速、齿轮数和半径分别用ω1，Z1，r1和ω2,Z2,r2表示，其粘性摩擦系数及转动惯量分别是f1,J1和f2，,J2；齿轮1和齿轮2的原动转矩及负载转矩分别是Mm，,M1和M2，Mc。解：控制系统的执行元件与负载之间往往通过齿轮系进行运动传递，以便实现减速和增大力矩的目的。在齿轮传动中，两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同，因此有关系Mω=Mω式

7、：1122（2-7）ωr=ωr1122（2-8）图2-4齿轮系统rZ11又因为齿数与半径成正比，即：=(2-9)rZ22Z1于是有：ω=ω(2-10)21Z2Z1M=M12Z2(2-11)根据力学中定轴转动的转动定律，可分别写出齿轮1和齿轮2的运动方程：dω1J+fω+M=M（2-12）1111mdtdω2J+fω+M=M（2-13）222c2dt由上述方程消去ω2，M1，M2，得22⎡⎛Z⎞⎤dω⎡⎛Z⎞⎤⎛Z⎞1111M=⎢J+⎜⎟J⎥+⎢f+⎜⎟f⎥ω+M⎜⎟(2-14)m1⎜Z⎟2dt1⎜Z⎟21c⎜Z⎟⎢⎣⎝

8、2⎠⎥⎦⎢⎣⎝2⎠⎥⎦⎝2⎠令32⎛Z⎞1J=J+⎜⎟J1⎜⎟2Z⎝2⎠2⎛Z⎞1f=f+⎜⎟f1⎜⎟2Z⎝2⎠2⎛Z⎞'1M=⎜⎟Mc⎜⎟cZ⎝2⎠则齿轮系的微分方程为：dω1'J+fω+M=M1cmdt（2-15）'式中J,f及M分别是折合到齿轮1上的等效转动惯量、等效粘性摩擦系数及等效负载转c矩。显然，折算的等效值与齿轮系的