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1、偏微分方程的建立运输方程的建立弦振动方程的建立热传导方程的建立泊松方程的建立Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---运输方程1.运输方程（石油管道运输、南水北调）Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---运输方程Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---运输方程运输方程ut+cux=0水平管道内有一种流体（比如，水）以恒定速度c流动水中含有某物质（如，污染物），以u（x,t）记其含量方程意义：污染物含量的变化率ut正比于其梯度uxDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---
2、运输方程0bu(x,t)cchb+ch污染物在t时刻、区间[0,b]内的总量M=∫0bu(x,t)dx=∫chb+chu(x,t)dx对b求导可得u(b,t)=u(b+ch,t+h)对h求导，并令h=0,可得0=cux+utDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---运输方程高维运输方程Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---振动方程2.弦振动方程（小提琴、吉他、二胡）Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---振动方程u(x,t)0lT(x1,t)ux1T(x0,t)x0x1Depart.Ma
3、th.,USTC宣本金偏微分方程的导出---振动方程物理假设：柔软、均匀、细小弹性弦作微小横振动柔软张力方向指向弦的切线方向均匀弦的线密度为常数细小重力忽略不计微小横振动u,ux很小Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---振动方程物理定律：牛顿第二定律F=ma纵向横向Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---振动方程数学简化泰勒展开式微分可得Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---振动方程张力T大小为常数Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---振动方程弦振动方程的变种
4、空气阻力正比于速度横向弹性力正比于位移系统受外力Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---振动方程弦振动方程的其他来源—CRL电路RCL物理量：电流u(x,t),电容C，电阻R，电感L，电漏G物理定律：Kirchhoff定律Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---振动方程CRL电路的方程理想传输线：R=G=0Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---振动方程高维振动方程---鼓面（薄膜）的振动Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---振动方程物理假设水平方向没有运动，Du
5、(x,y,z,t)为竖直方向位移平面区域D，边界物理定律牛顿第二定律Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---振动方程数学化简Green公式弹性张力大小为常数Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---扩散方程扩散方程—油滴、墨渍等在水中扩散x0x1管内从x0到x1扩散物质总质量及其变化率Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---扩散方程物理定律—Fick扩散定律扩散物从浓度高的区域向浓度低的区域扩散，扩散速度正比于浓度的梯度流入量-流出量Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出
6、---扩散方程数学简化对x1求导，得到扩散方程Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---扩散方程高维扩散方程对任意区域D，有等式由区域的任意性，可得Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---热传导方程热传导方程u(x,y,z,t)表示温度，H(t)表示区域D内的总热量，c为比热，为密度热量的变化率Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---热传导方程物理定律---傅里叶热传导定律热量总是从温度高的区域流向温度低的区域，流速正比于温度的梯度，因此，沿区域D的边界热量流出流入量为能量守恒定律Dep
7、art.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---热传导方程数学化简—散度定理由区域的任意性，可得微分方程Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---泊松方程波动或扩散的稳态方程u(x,y,z,t)不依赖于t，则ut=0Δu=0静电场qDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---薛定谔方程氢原子的薛定谔波函数方程m电子质量，e电子电量，普朗克常数除以2π，坐标原点为质子位置，波函数u（x,y,z,t）满足薛定谔方程Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出---薛定谔方程物理意义：在量子力学中，物
8、理量不能够精确测定，只能以概率形式测定，积分表示电子出现在区域D内的概率，Depart.Mat
