浅谈统计物理中的配分函数

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1、浅谈统计物理中的配分函数摘要：配分函数在统计物理学中有着重要地位，是研究系统热力学性质和求解系统热力学函数的关键。本文将从统计物理学的角度对配分函数进行简要探讨，以便进一步熟悉掌握配分函数的使用方法。1.引言众所周知，统计物理$研究的对象足组成宏观物质系统的人景微观粒子运动规律，认为系统的宏观性质是大量微观粒子运动的平均效果，宏观量是微观S的统计平均值，通过研究粒子的微观运动状态，求得整个系统的宏观量。由于微观粒子运动的多样性和复杂性，如何将S杂的微观粒子的运动与系统的宏观性质联系起来是统计物理学必须W答的问题，在这样的情况卜，配分函数便应运而生。2.配分函数简介在广义系

2、统中，系统的广义配分可以表示为：e^Nfl-PV-Er)NVr当^常数吋，广义系统便退化为巨正则系统，Zp便退化为系统的巨正则配分函数：Nr当v=常数、炉常数吋，广义系统便退化为正则系统，Zg广便退化为系统的巨正则配分函数：Z,E=Z^Err由此可见，系统的广义配分函数应用范围敁广，具冇普遍意义，而系统的巨配分函数、正则配分函数足在一定的约束条件下的特例。3.几种配分函数3.1光子统计的配分函数光子气体的粒子数N足个变量，在T,V—定的条件卜，处于热平衡的光子气体具宥某个统计平均的粒子仄在这种条件下，光子气体%配分函数Z=Le^+^+-)=……=(te')(L……=(―(

3、7^)R/!,/!%•••0n21-C1"C则lnZ=-ZLln(1-e其屮£。足指单个光子第r个能级的能跫。3.1坡色一爱因斯坦统计的配分函数对于具有对称波函数的全同粒子体系应川玻色一爱因斯坦统计(简称B-E统计)。系统的配分函数：P(nt€^+«2^+•••)R3.2费米一狄拉克统计的配分函数对具有反对称波函数的全同粒子体系应用费米一狄拉克统计(简称B-E统汁)，系统的配分函数为山D师iW2+……)。对任_r值冇：n7.=O，l。.Ft满足[rn7.=/V,经计算：ZFD=a/V-5"In(1-e~a~^1.配分函数的作用配分函数在统计物理中具冇极其重要的作川：配

4、分函数是沟通微观虽和宏观虽的桥梁，它把统计物理景和热力学量冇机地联接Y起來；配分函数是把“复杂的求和”变成“简捷的微分”的载体。4.1统计物理意义下，求系统所有的热力学宏观量归结为求配分函数闪能的统计表达式:"=其中P=广义力的表达式彳==其中y足广义少标当体系只柯体积广义参呈吋：P=p0V熵的统计表达式:S=i((7+lV)=Nk[lnZ(取=0)自由能的统计表达式：由F=U-TS,代入U、S的统计表达式p得:F=-NkTlnZ吉布斯函数的统计表达式：由G=U-TS+PV，代入U、S、P的统计表达式后得：dlnZG=NkT(V——-InZ)oV焓的统计表达式：由H=U+

5、PV，代入U、P的统计表达式后得：dlnZdlnZH=NkT(Tj+V以单原了理想气体系统为例，系统可看成由近独立粒子组成的孤立系统，其服从Boltzmann分布。没气体系统体积力V,组成系统的理想气体分子总数力N:乂理想气体分子在没有外场的宏观大小的各器中tl由运动，能景值是准连续的。即e=^(Px2+Py2+P/),分了可能的围观状态数为：办々'代入配分函数定义式冇：Z=52(JOe=AJlJLp-)dxdydzdpidp^dpiitloo于足理想气体系统的葙本热力学函数为:3lnZ2TTmp]P=dp_W"'vA2/Tr2A;ain/_/Var,…2tt"z、4，N

6、kTpdV=pNkTS=NkInZ-p-

7、-A7]n7，+八m+*Nk1+ln(2TTmk对见，由实验得出的理想气体物态方程PV=nRT与统计理论得出的物态方程PV=NkT,两者形式相同，Boltzmann常量的数值正足由两者比较求出的。综上可得出，系统所有的热力学宏观量都可由配分阑数Z來表示，即通过配分函数可以确定系统平衡态的全部热力学宏观性质，实现了从父杂的统计物理的微观3到简单的热力学宏观M的有机联接，架起了从微观到宏观的坚实桥梁。所以从这个角度看，配分函数z是一个极K重要的特性函数，它包含了粒了体系统计信息的核心，用表示体系的K它性质，具有特殊的物理价值。4.2在

8、数学上，配分阑数使复杂的热力学统计计算变得简捷从4.1中的统计表达式及例子可以看岀，只耍知道系统的配分函数，系统的宏观热力学S完全可以通过求配分函数Z的微分而求得，似按定义式先求配分函数Z值足一种复杂的指数求和，血对配分函数Z求tl然对数乂使复杂的指数变成简单乘积，再微分就变成了简单的求和。nj_见配分函数Z在使这种复杂的“指数求和”变成“简捷微分”到“简单求和”过程中起到极叉键的作用。同吋，引入配分喊数Z后，热力学暈的统计表达式变得简洁。若从美学角度看，配分阑数Z在数学上的这种作用，充分体现了执简驭繁功能上的简单美学价值，以