常见分布的期望与方差的计算.pdf

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1、常见分布的期望与方差的计算这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。1.0－1分布已知随机变量X的分布律为X10pp1−p则有E(X)=1⋅p+0⋅q=pp,22D(X)=E(X)−[E(X)]222=1⋅p+0⋅(1−p)−p=ppqq.2.二项分布设随机变量X服从参数为n,p二项分布,(法一)设Xi为第i次试验中事件A发生的次数，i=1,2,?,nn则X=∑Xii=1显然，X相互独立均服从参数为p的0－1分布，in所以E(X)=∑E(Xi)=np.i=1nD(X)=∑D(X

2、i)=np(1−p).i=1(法二)X的分布律为⎛n⎞kn−kP{X=k}=⎜⎟p(1−p),(k=0,1,2,?,n),⎝k⎠nnn⎛⎞kn−k则有E(X)=∑k⋅P{X=k}=∑k⎜⎟p(1−p)k=0k=0⎝k⎠nkn!kn−k=∑p(1−p)k!(n−k)!k=0nnp(n−1)!k−1(n−1)−(k−1)=∑p(1−p)(k−1)![(n−1)−(k−1)]!k=1n(n−1)!k−1(n−1)−(k−1)=np∑p(1−p)(k−1)![(n−1)−(k−1)]!k=1n−1=np[

3、p+(1−p)]=np2E(X)=E[X(X−1)+X]=E[X(X−1)]+E(X)nk⎛⎞kn−k=∑k(k−1)⎜⎟p(1−p)+npk=0⎝n⎠nk(k−1)n!kn−k=∑p(1−p)+npk!(n−k)!k=0n2(n−2)!k−2(n−2)−(k−2)=n(n−1)p∑p(1−p)+npk=2(n−k)!(k−2)!2n−222=n(n−1)p[p+(1−p)]+np=(n−n)p+np.22222D(X)=E(X)−[E(X)]=(n−n)p+np−(np)=np(1−p)3.泊松

4、分布设X~π(λ),且分布律为kλ−{=}=eλ,=0,1,2,,>0.PXkk?λk!则有∞k∞k−1λ−λE(X)=k⋅eλ=e−λ⋅∑∑λk!(k−1)!k=0k=1−λλ=λe⋅e=λ2E(X)=E[X(X−1)+X]=E[X(X−1)]+E(X)+∞kλkk−λ=∑(−1)⋅e+λk!k=0+∞k−2λ2−λ2−λλ2=λe∑⋅+λ=λee+λ=λ+λ.(k−2)!k=22222所以D(X)=E(X)−[E(X)]=λ+λ−λ=λ泊松分布的期望和方差都等于参数λ.4.均匀分布设X~U(a

5、,b),其概率密度为⎧1⎪,a0,f(x)=⎨θ其中θ>0.⎪⎩0,x≤0.则有+∞+∞1−xθE(X)=∫xf(x)dx=∫x⋅edx−∞0θ+∞+∞−xθ−xθ=−xe+∫edx=θ00+∞122=x2⋅e−

6、xθdx−θ2D(X)=E(X)−[E(X)]∫0θ222=2θ−θ=θ6.正态分布2设X~N(μ,σ),其概率密度为2(x−μ)1−2f(x)=e2σ,σ>0,−∞

7、(x−μ)f(x)dx−∞2(x−μ)+∞21−2=∫(x−μ)⋅e2σdx.−∞2πσx−μ令=t,得σ22tσ+∞−D(X)=∫t2e2dt2π−∞2+∞22⎛tt⎞σ⎜−+∞−⎟=−te2+∫e2dt2π⎜−∞⎟⎝−∞⎠2σ2=0+2π=σ.2π分布参数数学期望方差两点分布00λλ2均匀分布a0θθ2正态分布μ,σ>0μσ