几何分布的期望与方差的证明

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1、http://www.ehappystudy.com　　　　快乐学习，尽在苏州中学网校几何分布的期望与方差康永清高中数学教科书新版第三册（选修II）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1），（2），而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。（1）由，知下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记两式相减，得由，知，则，故从而也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：　　　　http://www.ehappystudy.com　　　　快乐学习，尽在苏州中学网校

2、记相减，则还可用导数公式，推导如下：上式中令，则得（2）为简化运算，利用性质来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。可见关键是求。　　　　http://www.ehappystudy.com　　　　快乐学习，尽在苏州中学网校对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：，并用倍差法求和，有则，因此利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。例1.一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望与方差。解：每次从袋内取出白球的概率，取出黑球的概率。的

3、取值为1，2，3，……，有无穷多个。我们用表示前k－1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此。可见服从几何分布。所以例2.某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0

4、次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为用倍差法，可求得所以说明：本例的试验是有限次的，并且，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公式的推导方法。