初中数学重点：从一道数学压轴题谈起

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1、初中数学重点：从一道数学压轴题谈起由于工作的关系，我经常接到一些学生的咨询，反映在考试时，一见数学压轴题就发怵，经常折腾个把小时做不完；还有的学生以为压轴题一定很难，不敢碰它，所以不如干脆放弃，挪些时间检查，保证基础题少丢分，这也是部分老师的谆谆教导和学生家长的千叮万嘱.这种做法是否明智？数学压轴题是在初中主干知识的交汇处命制，是多个基础知识点的融合或深挖，所涉及的知识点多，覆盖面广，综合性强，对思维能力思维品质的考查要求很高，几乎都涉及到数学学科的基础知识、基本技能、基本思想与基本方法，如三角形的全等、相似；函数解析式的求法与应用

2、、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等，所以具有一定难度，绝大部分学生难以全部完成.1压轴题真的就不能碰吗？下面以2009年东营市压轴题为例谈谈我们的看法．题目：（2009年东营市24题）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如

3、图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBADCEG图①FBADCEG图②DFBACE图③这一压轴题改编自广州市2007年初中学生学业考试数学试题第25题，原题如下：已知Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM.（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM=DM且BM⊥DM；（2）如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例

4、；如果成立，请给予证明．该题主要考查三角形、图形的旋转、特殊四边形等基础知识，考查空间观念、演绎推理能力．命题组给出的参考解答及评分意见如下：FBCEG图①解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=FD．………………1分同理，在Rt△DEF中，EG=FD．………………2分∴CG=EG．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．FBADCEGMNN图②（一）在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CD

5、G，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴AG=CG．………………………5分在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴MG=NG．在矩形AENM中，AM=EN．……………6分在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴AG=EG．FBADCEGM图②（二）∴EG=CG．……………………………8分证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC，……………………4分在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG

6、，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．∴MF∥CD∥AB．………………………5分∴．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE．∴．…………………………………………………6分FBADCE图③G∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．…………7分∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=MC．∴．………………………………8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分分析：解答压轴题，除了要具备扎实的数学知识和良好的的

7、读题习惯外，还要具备较高的应考能力，要特别关注题目中的特殊图形，如题目中的“正方形的对角线”；特殊的位置关系，如“EF⊥BD”；特殊的点“中点G”等；要找准压轴题的“题眼”，“题眼”一般在于某一个特殊图形中或在于某个思想方法中．该压轴题由3个小题组成.第（1）题要求证明两条线段相等，这可以分别在Rt△FCD和Rt△DEF中利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到要证得结论，这一问是比较简单的，容易上手；第(2)题是改变图中△BEF的位置，将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1

8、）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．这一问稍难，但仍还属于常规题型，证明的过程需要添加辅助线，通过证两次三角形的全等，借助于等量代换，得到；第(3)题较难，能力要求较高．如果从合情推理的角度出发，可以通过