数列极限定义及部分习题.pdf

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1、§2.1数列极限§2.1数列极限一、数列的概念二、数列极限的定义一、数列的概念1.数列的定义设yn=f(n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，y1,y2,…yn,…,称为一个数列.yn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为{yn}或yn=f(n)134n1例.1.yn1,2,,,,n23nnn(1)11(1)2.,1,,,,,n23nn(1)n1(1)13.y,0,1,0,1,,,n22224.{n},1,4,9,,n,注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取x1,x2,

2、,xn,.x3x1x2x4xn2.数列{y}可看作自变量为正整数n的函数:nyf(n),nN.n当自变量n依次取1,2,3,等一切正整数时,对应的函数值就排列成数列{y}.n二、数列极限的定义11.例解数列yn1nyny4y3y2y1x15432432　　从直观上看,这个数列当n越来越大时,对应的项yn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时,数列xn趋近于1”.如何用精确的,量化的数学语言来刻划这一事实?注意到,实数a,b的接近程度由

3、ab

4、确定.

5、ab

6、越小,则a,b越接近.因此,要说明“当n越来越大时,yn越来越接近于1”就只须说明“当n越来越大时,

7、

8、yn1

9、会越来越接近于0”.而要说明“

10、yn1

11、越来越接近于0”则只须说明“当n充分大时,

12、yn1

13、能够小于任意给定的,无论多么小的正数”就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数,当n充分大时,

14、yn1

15、比还小,由于是任意的,从而就说明了

16、yn1

17、会越来越接近于0.11事实上,

18、yn1

19、,给,很小,要使n100011

20、yn1

21、,只须n>1000即可,也即在这个n1000数列中,从第1001项开始,以后各项都有1

22、y1

23、n10001又给,则从第10001项开始,100001以后各项都有

24、y1

25、n100001一般地,任给>0,不论多么小,要

26、使

27、yn1

28、n11只须n.因此,从第1项开始,以后各项都有

29、y1

30、n因为是任意的,这就说明了当n越来越大时,yn会越来越接近于1.2.定义:设{yn}是一个数列,A是一个常数,若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

31、ynA

32、<,则称A是数列{yn}当n趋于无穷大时的极限,或称{yn}收敛于A.limyA,或,yA(n)nnn记作:(limyA,或,yA(n))nnn这时,也称{yn}的极限存在,否则,称{yn}的极限不存在,或称{yn}是发散的.若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

33、ynA

34、<,则记

35、limynA.n1比如,对于刚才的数列1.有lim(1)1nnnn(1)(1)12lim0,而lim和limn不存在.nnn2n注1.定义中的是预先给定的,任意小的正数,其任意性保证了yn可无限接近于A,另外,又是确定的,它不是变量.若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

36、ynA

37、<,则记limynA.n注2.一般说来,N随给定的变化而变化,给不同的确定的N也不同,另外,对同一个来说,N不是唯一的(若存在一个N,则N+1,N+2,…,均可作为定义中的N.)若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

38、ynA

39、<,则记li

40、mynA.n注3.定义中“当n>N时,有

41、ynA

42、<”的意思是说,从第N+1项开始,以后各项都有

43、ynA

44、<,至于以前的项是否满足此式不必考虑.可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关.而与前面的有限多项无关.改变,去掉数列的前有限项,不改变数列收敛或发散的性质.3.几何意义:由于

45、ynA

46、<A

47、)yy1y2A-AA+y34.例解n例1.设q是满足

48、q

49、<1的常数,证明limq0.n证.若q=0,结论显然成立.设0<

50、q

51、<1.现在,yn=qn,A=0.>0.(要证N,当n>N时,有

52、qn0

53、<)因

54、ynA

55、=

56、qn0

57、=

58、qn

59、=

60、q

61、n,要使

62、yna

63、<,只须

64、q

65、n<即可.ln即nln

66、q

67、

68、q

69、ln取正整数N,则当n>N时,有ln

70、q

71、lnlnn,从而有ln