极限习题及答案：数列极限

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1、函数、数列以及极限的综合题例已知函数的图象是自原点出发的一条折线．当时，该图象是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义．求：（1）求和的表达式；（2）求的表达式，并写出其定义域；（3）证明：的图像与的图象没有横坐标大于1的交点．分析：本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．（1）由斜率分式求出，同样由斜率公式求出关于的递推式，然后求出，（2）由点斜式求出段的的表达式，用极限的方法求出定义域．（3）与没有交点，只要时，或时恒成立，当，由于，只要证解：（1）依题意，又由，当时，函数的图象是斜率为的线段，故由得又由，当时，函数的图象是斜率为

2、的线段，故由，即得记由函数的图象中第段线段的斜率为，故得又∴由此知数列为等比数列，其首项为1，公比为因，得即（2）当时，从（1）可知，即当时，当时，即当时，由（1）可知为求函数的定义域，须对进行讨论．当时，时，，也趋向于无穷大．综上，当时，的定义域为当时，的定义域为（3）证法1首先证明当时，恒有成立．对任意的，存在使，此时有又即有成立．其次，当，仿上述证明，可知当时，恒有成立．故函数的图象与的图象没有横会标大于1的交点．证法2首先证明当时，恒有成立．用数学归纳法证明：（ⅰ）由（1）知当时，在上，所以成立．（ⅱ）假设时在上恒有成立．可得在上，所以也成立．由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然

3、数在上都即时，恒有其次，当，仿上述证明，可知当时，恒有成立．说明：本题不仅考查直线方程、数列、函数、不等式知识，还着重考查综合运用数学知识、思想方法解决问题的能力．解答本题首先必须具备较强的阅读理解能力，图象想像能力，本题的（2）用求极限的方法求定义域，反映了高考命题“不拘泥于大纲”的原则，不过从实践上看，与现在中学数学实际有些超前，本题的难度系数为0.02，三人平均不足1分，创了近年高考得分低的记录．命题人设计试卷时为使考生不放弃难题，将本题放在倒数第二题的位置．本题得分低一方面是试题“超前”，另一方面反映考生能力差，现在中学数学备考主要是“大运用量”的模仿训练，创新精神提倡不够

4、，一遇情境新颖的问题学生就毫无办法．以后坚持考不等式证明题的方向不会改变，试题难度会适度降低．判断数列极限命题的真假例判断下列命题的真假：（1）数列的极限是0和1．（2）数列的极限是0．（3）数列的极限不存在．（4）数列的极限是0．分析：判断一个数列否存在极限，极限是多少，主要依据极限的定义，即数列的变化趋势．解：（1）一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个，是假命题．（2）随着n无限增大，数列的项无限趋近于0，因此它的极限是0，是真命题．（3）随着n无限增大，数列的项无限趋近于0，因此数列无限趋近于0，是假命题．（4）有穷数列无极限，是假命题．说明：（3）中

5、容易认为极限不存在．（4）容易错误认为是真命题，尽管数列随着n的增大而逐渐趋近于0，但由于数列只有10001项，是有穷数列，不存在极限．根据数列的极限确定参数的范围例若，则a的取值范围是（）A．B．或C．D．或分析：由（a为常数），知，所以由已知可得，解这个不等式就可求得a的取值范围．解：由，得，所以，两边平方，得：，，所以或．答案B说明：解题过程容易误认为只有，得，错选A．解决含有涉及到求字母取值范围的问题时，常常要利用集合的包含关系，充要条件来考虑问题．分析数列求极限例已知数列1.9，1.99，1.999，…，，…．（1）写出它的通项；（2）计算；（3）第几项以后所有的项与2的

6、差的绝对值小于0.01？（4）第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.001？（5）指出这个数列的极限．分析：观察数列的特点，可以通过特殊数归纳总结规律，简化数列通项的一般形式，再求极限．解：（1）可将数列改写为（2-0.1），（2-0.01），（2-0.001），…，（），…于是此数列的通项．（2）．（3）令即，解得故这个数列的第2项以后的所有项与2的差的绝对值均小于0.01．（4）令即，解得故这个数列的第3项以后的所有项与2的差的绝对值均小于0.001．（5）说明：可以通过特殊数帮助理解无限接近的意义，从而帮助求解极限．求数列奇数项和的极限例数列的前n项和记为，已知，求的值．

7、分析：为求当的极限，应先求出的表达式．从已知条件中给出与的关系式，可以利用，设法求出的表达式．解：由及，可得．又时，，则两式相减，得于是，数列是以为首项，公比为的无穷等比数列．进而可得，数列是以为首项，公比为的无穷等比数列，于是可求出极限．说明：这同1999年全国高考文史类试题．对于这类求极限的题目，必须先用数列的性质求出的通项公式，或确定数列的特征再求极限．由于所求数列是一个公式的无穷等比数列，所以在解题时，可以不必再求极限，而直接代入无穷等比数列求和的公式．等比数