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1、Chap1数列的极限1.设及,用语言,证明:.证,.(1)当时,那么,下证.,则存在,当时,.,此即..(2)当时,,存在,当时,...综上两方面,即证.2.已知,用语言,证明:.证(1)当时,那么,,存在,当时,;,此即.(2)当时,因为.令,,则对,存在,当时,有.而.1.(算术平均收敛公式)设.令,求证:.证法1由施笃兹公式.证法2由,则,存在,使当时,有.①令,那么.②存在,使当时,有.再令,故当时,由①,②有..2.(几何平均收敛公式)设.且.证明:.证,.再由算术平均收敛公式可知.3.证明:,其中.
2、证令,则,依伯努利不等式,有,即.要,只要.所以,有.取,则当时,就有,即.1.证明:若,则.当且仅当为何值时逆命题也成立.证由题设,知,,当时,皆有.从而当时总有,所以.当且仅当时,逆命题也成立.2.设,且,用语言,证明:.证当时,有(由二项展开式得)要使,只需.即若取,则当时,就有,所以.数列,,是无穷小序列.3.利用单调有界性证明:设,,且,..则.证,是显然的.由,得,.知单调增加,单调减少,又,,所以,有界.即,存在.对两边取极限,得.1.证明:数列单调增加,数列单调减少,两者收敛于同一极限.证记,,
3、由平均值不等式,知,,即单调增加,单调减少,且.所以,单调有界,必定收敛.由,知它们有相同的极限.即.1.证明:若.则数列收敛.证由上例知,两边取对数得,,即有不等式.则,即单调减少有下界,所以收敛.2.设数列满足:,,.证明:数列收敛,并求.证,,.用数学归纳法可证①.由①式知即单调递增.再由①式知,收敛.设,则.,两边取极限有:.,又.,即.1.设,,,.证明:数列收敛,并求其极限.证先用数学归纳法证明,①当时,结论成立,归纳假设结论对成立,再证时,因为,.即①式成立..单调递增,且有上界.存在.设为.由,
4、两边取极限得②由①式及单调递增,显然,由②式解得..
