聚焦高考数列与极限的经典问题

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1、聚焦高考《数列与极限》的经典问题作者：陕西洋县中学刘大鸣数列与极限是高中代数的重要内容之一，也是大学衔接的内容，由于测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，所以在历届高考中占有重要的地位，近几年更是有所加强.数列与极限大多以数列、数列极限和数学归纳法内容为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类与整和等各种数学思想方法，考查灵活运用数学知识分析和解决问题的能力.本文结合近几年的高考题，对数列与数列极限的经典问题分类解析之.

2、【考点解释】1理解等差数列、等比列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式并能解决简单的实际问题.2掌握递推数列化归构造新的辅助数列为等差或等比数列，或“迭代法、类加法或类乘法”求通项或通过“归纳-猜想-证明”探索其通项公式的方法.3掌握特殊数列求和的方法：直用公式；裂项相消法；错位相减法；反序求和等.4能从一般数列的切入点入手，化归等差或等比数列或数学归纳法解决数列通项的问题.5会求简单数列的极限；6能用函数和数列及数学归纳法的工具性解决数列、不等式、函数、解析几何等网络交汇处的问题.【命题预测】利用等差数列、

3、等比数列的定义和性质解决数列通项与前n和问题是命题的基础和依据；利用数列与函数的关系，构造函数简化求解数列网络问题，利用数列的通项和前n项和解决一些简单的计算或证明问题，突显数列和函数的工具性和应用性；递推数列求通项和前n项和及极限问题，是探索和开放及创新的应用天地；猜测归纳“数列不等式”，用数学归纳法证明已成为高考命题的一道亮丽的风景线；研究数列的单调性解决最值问题，函数、导数、数列、三角、解析几何等网络交汇处的综合问题往往成为高考的压轴问题.【经典问题聚焦】一等差或等比数列中的方程组观念的应用1（05湖北）设等比数列的公比

4、为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为2(05全国3)在等差数列中，公差的等比中项.已知数列成等比数列，求数列的通项【思维展示】1利用一般数列的切入点和等差数列构建方程组求解，由Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则2认识等差数列的子数列为等比数列的意义，由“双重身份”的应用切入，依题设得，∴，整理得d2=a1d，∵得所以，由已知得d，3d，k1d，k2d，…，knd…是等比数列.由所以数列1，3，k1，k2，…，kn，…也是等比数列，首项为1，公比为等比数列，即得到数列〖学习体验〗利用一

5、般数列的切入点和等差（比）数列的定义和概念构建方程组，或化归辅助数列为等差（比）数列解决问题，这是最常用的基本方法，它充分体现两种最基本、最重要及应用最广泛的数列的工具性。二求数列通项常用的方法1（04高考全国1）已知数列…⑴求；⑵求数列的通项公式.2（04重庆高考）设数列满足求数列，的通项公式.3（江西05）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.【思维展示】2由题设构造辅助数列为等比数列，累加法求通项，则是等比数列，故，累加法得，3数学归纳法证明不等式关键是是如何创造使用归纳假设？从数列的本身特征使用归纳假设产生方法

6、1，用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴，命题正确；2°假设n=k时有从递推关系入手，则而又∴时命题正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有若函数认识数列，构建辅助函数研究单调性使用归纳假设将会产生方法2，1°当n=1时，∴；2°假设n=k时有成立，类比递推关系，构造函数令，在[0，2]上单调递增，假设作为自变量的关系，用单调性有：即也即当n=k+1时成立，所以对一切。（2）认识递推关系，整体变量意识，构建辅助数列迭代法求通项，所以，整体换元,又b0=－1，所以。〖学习体验〗求数列的通项，常常化归构造新的辅助数列为等差或等比数列

7、，或“迭代法、类加法或类乘法”或通过“归纳-猜想-证明”探索其通项的方法，其中用数学归纳法证明数列不等式和构造函数利用单调性解决数列中的不等关系已成为高考命题的一道亮丽的风景线。三一般数列切入点的应用1（05江苏）设数列｛an｝的前n项和为,已知a1=1,a2=6,a3=11,且其中A，B为常数.(Ⅰ)求A与B的值;(Ⅱ)证明数列｛an｝为等差数列;2（05山东）已知数列前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）。（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）令，并比较的大小。【思维展示】1本小题主要考查一般数列的切入点和等差数

8、列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力.（Ⅰ）认识一般数列切入点的意义，特殊赋值构建方程组，由已知得由知解得A=－20，B=－8.（Ⅱ）注意切入点的认识产生方法1，由（Ⅰ）得，，①所以②，②－①得③，理解它的任意性和切入点的目标意识有④，④－③得，因为所以又因