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《数列极限部分较难习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、word格式数列极限部分书后较难的作业解答:一.(（书）第10题)证明数列有极限证明:(一)因为故单减.(二)由不等式得所以有.故有下界.因此根据单调有界原理知,有极限.二.设常数,,证明:收敛,且求.解:(一)假设收敛,并记由已知得递推关系式:,令,利用,得,即解方程得.又因为,故取.....word格式即(二)下面返证收敛.1.由显然.归纳地设,则即单增.2.再证有上界那么如何取呢?既然单增且有极限,那么就应是的一个上界.下面仍然用归纳法证明是的上界.事实上显然;设则故单增且有上界,因此收敛.注意:这里上界的找
2、法似乎依赖于的极限值.为了使上述解法更符合逻辑,一般教科书往往先证(2),再求(1)的方法,不过(2)中的上界的选取实际上是事先计算出的极限.当然若为单减的,则事先计算出的极限值就是数列的一个下界了.注意:同理可将上例推广到一般情形:设则数列收敛且其中(1)当即或时,....word格式(2)当即或时,单增,且为上界;(3)当即或时,单减,且以0或为下界;有趣的是数列的极限与其初值并无关系.这说明在一个收敛的迭代数列中,不管数列的初值如何选取,数列总收敛到相同的极限值,这也正是迭代算法的存在价值.三.(第13题(3
3、))设,数列由下式所确定:证明它们有公共的极限.证明:(一)由可知,因而显然对于，又因为，故对于所以(1)因此,单调递增.同理:因为,(2)因此单调递减.(二)由于因此有上界,且有下界,根据单调有界原理知,数列均有极限.(三).设对两边取极限,得于是,即....word格式四.第12题设和已知实数,令(1)证明数列收敛且证明:由(1)式,;(2)(3)(4)上述—相加,得:故五.(第13题(1))设,证明数列收敛,且....word格式证明:(一)显然(二)由对于任何的,(1)(1)式说明与同号.如果与均大于0,则
4、说明是单调增加的,且有上界3;如果与均小于0,则说明是单调减少的,且有下界0.总之,根据单调有界原理知,收敛.(三)设,在两边取极限,得,解之,有六.(第13题(2))设实数,讨论数列敛、散性. 证明:(一)假设收敛,并设,则由两边取极限,得,即,解得因此,当时,发散;(二)当时,我们证明是收敛的.事实上,(1)显然,且下面利用归纳法证明对于任何的,有事实上,若假设则有故对于任何的....word格式,有总之,对于任何的,有(2)因为式说明与同号.如果与均大于0,则说明是单调增加的,且有上界1;如果与均小于0,则说
5、明是单调减少的,且有下界0.总之,根据单调有界原理知,收敛.且七.(第1题(3)、(4))求极限解:(一)因为(1)故()(2)所以((3)故(4)(二)由(4)式,且故由夹逼准则知,(4)求....word格式解:取,根据课堂上讲过例26(注意到此题是用夹逼准则证明的):设是实数序列,,则,有另解:记则(5)又由(3),(6)综合(5)、(6),得因为所以,由夹逼准则知,注:上述另解中用到了结论，其证明方法如下.证明:记则我们有由此,得且因此由夹逼准则知,故.八.(第292页第2题).证明:若,则也有....wo
6、rd格式证明:因为,故对于任给的,存在,使当时,有(1)令(2)则(3)又因故可取正整数使当时,恒有(4)于是,当时,恒有即证明了,对于任给的,存在正整数使当时,恒有所以,九.(第292页第3题).设:证明:证明:记,因为故我们有这里为无穷小序列.于是,无穷小序列也是有界序列,可设对....word格式因为所以无穷小序列.又因为也都是无穷小序列,所以,十.(第292页第6题).证明著名的施笃兹(Stolz)定理:若数列满足条件:(1)且;(2)有极限则也有极限且证明:假定,由此,并注意到,知对于任给的,存在,使当时
7、,有(且)(1)于是,当时(2)都包括在之内,因为,所以(2)式中那些分数的分母都是正数,于是得....word格式上述各式相加,得即故当时,有(2)另外,我们有,当时(3)故,注意到故有(4)又注意到,对于上述的,因为,所以,有故可取,使得当有(5)于是,当时,有因此,依极限定义,知....word格式十一.(页第9题)求解:由(见课本的推导)(1)故注意到故于是十二.(页第4题)设且.证明:若有极限,则也有极限证明:设,则其中于是(1)记,为方便起见,又记,则(2)显然有对于任意给定的;且(3)....word
8、格式下面证明为无穷小序列.事实上,对于，使得，只要,就有(4)又因为对于任何给定的有,所以对这取定的,存在,使当时,就有,又可取则当时，有(5)我们记.于是，当时，有故为无穷小序列.,所以,第一章函数的极限第二节函数的极限一．函数的极限的概念(一)当时函数的极限1.引例：观察下述几个函数当无限增大时（即）的取值规律.....word格式（1）.；（2）.（3
