立体几何线线垂直专题(史上最全)

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1、立体几何垂直总结1、线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：AEDBC例1、

2、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形中，，是的中点。求证：（1）平面CDE;（2）平面平面。证明：（1）同理，又∵∴平面（2）由（1）有平面又∵平面，∴平面平面例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥的底面是菱形．，为的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面．13例3、(线线、线面垂直相互转化)已知中,面,,求证：面．证明：°又面面又面图2例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知垂直于圆O在平面，是圆O的直径，是圆O的圆周上异于、的任意一点，且，点是线段的中点.求证：平面.证明：∵所在平面，是的弦，∴.又∵是的直径，是直径所对的圆周角，

3、∴.∵平面，平面.∴平面，平面，∴.∵，点是线段的中点.∴.∵,平面，平面.∴平面.例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.求证：BD⊥平面AED；证明　因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED.13例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△AB

4、C为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D证明：连结AC∴AC为A1C在平面AC上的射影练习；1、如图在三棱锥P—ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.证明：AP⊥BC；132、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.证明：DC1⊥BC。3．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD

5、＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥EABD的侧面积．.4、在正三棱柱中，若AB=2，，求点A到平面的距离。5、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F13分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD..6、如图7－5－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°13，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB.(2)求证：A

6、1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．立体几何垂直总结131、线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。3、面面垂直的判断：一个平面经

7、过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：AEDBC例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形中，，是的中点。求证：（1）平面CDE;（2）平面平面。证明：（1）同理，又∵∴平面（2）由（1）有平面又∵平面，∴平面平面例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥的底面是菱形．，为的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面．例3、(线线、线面垂直相互转化)已知中,13面,,求证：面．证明：°又面面又面图2例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所