立体几何复习专题---- 线线夹角

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1、立体几何复习专题--空间角之线线角一、基础知识1.定义：直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a΄//a，b΄//b，相交直线a΄b΄所成的锐角（或直角）叫做异面直线夹角。2.范围：3.方法：平移法、（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。步骤：①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.(常用到余弦定理)余弦定理：(计算结果可能是其补角)（2）补形法：把空间图形补成正方体、平行六面体、长方体等几何体,以便发现异面直线间的关系（3）

2、三线角公式用于求线面角和线线角.斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦即：若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的射影，OC为面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ=cosθ1·cosθ2（同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）【典型例题】【例1】在正方体中，下列几种说法正确的是（）A、B、C、与成角D、与成角答案：D。解析：A

3、1C1与AD成45°，D1C1与AB平行，AC1与DC所成角的正切为。【例2】（1）如图，在正方体中，E,FG,H分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（2）如图,正四棱柱中,,则异面直线与所成角的余弦值为(3)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA=，点D1、F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成的角的余弦值_________。（4）在正四面体A-BCD中，异面直线AB与CD所成角的大小是_______.ADCB小结：异面直线所成的角求法：①平移法②补形法【例3】在正方体中，E是AB

4、的中点，（1）求BA/与CC/夹角的度数.（2）求BA/与CB/夹角的度数．(3)求A/E与CB/夹角的余弦值．【例4】长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的余弦值。{直接平移}：常见的利用其中一个直线a和另一个直线b上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a的平行线。解法一：如图④，过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点。则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=3，∠DB1E=解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB

5、1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=3，∠C1BE=【例5】如图空间四边形ABCD中，四条棱AB，BC，CD，DA及对角线AC，BD均相等，E为AD的中点，F为BC中，（1）求直线AB和CE所成的角的余弦值。（2）求直线AF和CE所成的角的余弦值。【课堂练习】1．异面直线a,b所成的角为，过空间一定点P，作直线L，使L与a,b所成的角均为，这样的直线L有条。2．已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且∠

6、DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________。3.正方体的12条棱和12条面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是。4.正方体中，O是底面ABCD的中心，则OA1和BD1所成角的大小为。5.已知为异面直线a与b的公垂线，点，若a、b间距离为2，点P到的距离为2，P到b的距离为，则异面直线a与b所成的角为。6如图正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AA1，M、N分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与CN所成角为。7.如图PD平面ABCD,四边形ABCD为矩形，AB=2AD=2DP，E为CD中点。（1）与BE所

7、成的角为（2）若直线PD，且AF与BE所成角为1.=30˚行吗？2.=75˚时；=。8.空间四边形ABCD中，对角线AC，BD与各边长均为1，O为的重心，M是AC的中点，E是AO的中点，求异面直线OM与BE所成的角。9.空间四边形ABCD中AB=BC=CD，BCD=ABC=120˚，ABCD，M、N分别是中点（1）AC和BD所成的角为　　　。（2）MN与BC所成的角为　　　　。10.已知正方体AC1中，（1）E、F分别是A1D1，A1C1的中点，则AE与CF所成的角为　　　　（2）M、N分别是AA1，BB1的中点，则CM和D1N所成的角是　

8、　　。