恒成立、能成立、存在数学题

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1、恒成立、能成立、恰成立、任意与存在一、知识归纳：1．恒成立问题①若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上②若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上2．能成立问题（有解问题、存在性问题）①若在区间上存在实数x使不等式成立(即在D上有解),则等价于在区间上；②若在区间上存在实数x使不等式成立（即在D上有解）,则等价于在区间上的.③对于,有解3恰成立问题①若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为；②若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.4.任意与存在设函数的定义域为A,值域为B;的定义域为C,值域为D①对任意的都有成立,则.②对任

2、意的,,均有,则③对任意的,存在,均有,则④对任意的,存在,均有,则⑤存在,,使得，则⑥对任意的,存在,使得成立,则⑦存在,对任意的,使得成立,则⑧存在,,使得，则二、注意点：1．“恒成立”与“存在”是参数讨论中的两类非常重要的问题，而通过求函数的最值是解决这两类问题的重要方法，在具体解决问题时又有两条基本思路：①将“参数”与“变量”分离在不等号的两边，然后变量形成的函数的最值；②“参数”与“变量”不分离，将整个式子看成一个函数，并求它的最值.2．必须注意，如果在定义区间D上没有最大或最小值，而只有上限或下限，则最后的结果可能要将“＜（＞）

3、”改为“≤（≥）”.3．在具体的问题中，“恒成立”与“存在”有很多不同的等价形式.如“恒成立”在有些问题中叙述为“对任意…总有……”，“无论…都有…”等等；而“存在”的等价说法有“不等式在D内有解”，“集合Æ”等多种形式，注意总结经验.三、例题例1．①不等式

4、x-2

5、－

6、x+4

7、>a有解，，则a的取值范围为_____________②如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______③不等式

8、x-2

9、－

10、x+4

11、>a恒成立，则a的取值范围为_______________.解题策略：数形结合能将抽象的问题直观化.形象化，能使问

12、题灵活直观地获解，在数学学习中要注意把握善于运用这种数学思想.分析：就自变量x的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，由图象即可得y的范围函数的图象如图，由图象即可得y∈［-6，6］.所以③a<-6例2.设关于x的不等式在区间上有解，求a的取值范围答：在上等价于，在区间上有解，则＝＝所以＝，a的取值范围例3.已知是实数,函数.如果函数在区间[-1,1]上有零点,求的取值范围.【解析】若,则,令,不符题意,故当在[-1,1]上有一个零点时,此时或解得或当在[-1,1]上有两个零点时,则解得即综上,实数的取值范围为.(别

13、解:,题意转化为知求的值域,令得转化对号函数问题.)例4．对，，使，则的取值范围是．例5.设函数的定义域为D，如果对于任意，存在唯一的，使（c为常数）成立，则称函数在D上均值为c，给出下列五个函数：①，②，③，④，⑤满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m作业1.若使得不等式成立，则实数x的取值范围是。2.若使得不等式成立，则实数a的取值范围是。3.若使得不等式成立，则实数x的取值范围是。4．已知函数的值域为，函数，，总，使得成立，则实数的取值范围是。5．对于函数y=f(x)，xÎD，若存在常数c，

14、使对任意x1ÎD，存在唯一的x2ÎD，满足，则称函数f(x)在D上的均值为c，现已知函数：①y=2x，②y=x5，③y=2sinx，④y=lgx，则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是__________（填上所有符合要求的函数的序号）。6．已知函数，，若存在，使（1，2）为的最小值，为的最大值，则此时数对为。7．已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。　8．若存在，使得不等式成立，则实数x的取值范围是________9．存在的取值范围是。