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1、存在与恒成立1.恒成立问题：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2.存在问题：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.恰成立问题：（1）（2）4.相等问题：（1）（2）5.综合问题：（1）（2）（3）（4）（5）（1）（7）（8）（9）（10）考点一.恒成立问题命题点1.参变分离：简单最值（1）设函数f(x)＝－x3＋3x＋2，若不等式f(3＋2sinθ)f(x)max，x∈[1,5]，f′(x)＝－3x2＋3，令f′
2、(x)＝0，x＝±1，当x∈[1,5]时，f′(x)≤0恒成立，即f(x)在[1,5]上为减函数，f(x)max＝f(1)＝4，则m>4．（2）设函数，若对任意，有，求b的取值范围。解：由题：f(x)max-f(x)min《4，f(x)开口向上，对称轴为,最大值必为f(-1)=1-b+c或f(1)=1+b+c，（1）若,即-2b2,则最小值为,则-2b6。（2）若,即b>2或b<-2,则
3、f(1)-f(-1)
4、=
5、2b
6、4,得
7、b
8、2,矛盾（舍）。综合得b：[-2,2]。命题点2.参变分离：二阶求导与洛必达法则秒
9、杀：洛必达法则操作步骤（分离→构造→求导→抛弃→判断→洛必达→结论）第一步：分离参数，得到；第二步：构造函数；第三步：证明单调性；（求，可能需要二次求导，直到可以判断导数正负终止，写出单调区间，确定极值点）第四步：判断当时，是否为或型）第五步：运用洛必达法则求在处极限；（==……，直到代入x=a有意义可求出极限为止。）第六步：求出参数范围（1）已知解：，（单调性不确定则二阶求导），（单减），，，则a>-1.(2)已知解：，（单调性不确定则二阶求导），，故g(x)单调递增，g(x)》g(0)=(由洛必达法则），则a
10、《1.（3）已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x，若当x》0时成立，求a的取值范围．解：由题意得当时，,当时，，令，，令，则，则在上递减，故，故，故，又，故。（4）设函数，其中是的导函数，若恒成立，求实数的取值范围。解：由题意得当时，,当时，，令，，令，则，则在上递增，故，故，故，又，故。命题点3.斜率型求参数（1）设函数，若对任意b>a>0，恒成立，求实数m的取值范围．解：。（2）设函数，若对任意b>a>0，恒成立，求实数m的取值范围．解：。命题点4.直接法求参数（1）已知函数，若恒成立，求a的取值范围。解：，当
11、，原式成立；当，不符合题意，则a》-2.（2）设函数，如果当x>0时且时，恒成立，求实数k的取值范围．解：设，，；；综上k《0。命题点5.两函数法（1）已知函数，若恒成立，求a的取值范围。解：，，。考点二。存在性问题（1）设f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对任意的s，t∈都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．解：(1)存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立
12、，等价于：[g(x1)－g(x2)]max≥M，g(x)＝x3－x2－3，g′(x)＝3x2－2x＝3x，x02g′(x)－0＋g(x)－3递减极(最)小值－递增1由上表可知：g(x)min＝g＝－，g(x)max＝g(2)＝1，[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝，最大整数M＝4.(2)由题：在区间上，函数f(x)》g(x)max恒成立，由(1)知，在区间上，g(x)的最大值为g(2)＝1.∴f(x)≥1恒成立，即＋xlnx》1恒成立，则，令h(x)=,=0，,则h(x)在单调递增
13、，在（1,2)单调递减，故h(x)max=h(1)=1，则a》1.（2）函数,,若对任意，均存在，使得,求a的取值范围。解：由题：，，f(x)在x∈(0,2]恒成立,即=h(x),则a>h(x)max,得,令f(x)=4lnx-x-2,得=-1=,当x∈(0,2],>0得f(x)单调递增,则f(x)0,h(x)单调递增,h(x)max=h(2)=ln2-，则a>ln2-。（3）已知函数，设a≥1函数g(x)=,若对任意∈[0,1]总存在,使成立,求a的取值范围
14、。解：[实际上就是要求g(x)的值域包含（》）f(x)的值域] :==，x∈[0,1],当,>0,f(x)增,当,<0,f(x)减,当x=,f(x)min=f()=-4 ，f(0)=-,f(1)=-3 ∴f（x）值域：[-4,-3];==3(x+a)(x-a),x∈[0,1],a1，<0,g(x)单调递减，g(0)=-2a-3,a，g(1)=1-3-2a-4,即a1或a
