数形结合毕业论文

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1、数形结合思想在解题中的应用摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形的关系是非常密切的。把数和形结合起来，能够使抽象的数学知识形象化，把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当的几何图形，在具体的几何图形中寻找数量之间的联系，由此可以达到化难为简、化繁为易的目的。关键词：数形结合解题应用数形结合是一种极富数字特点的信息转换方法，数学上总是用数的抽象性质说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。应用数形结合法，通过图形性质的的分析，使数学中的许多抽象的概念及定理直观化、形象化、简单化，并借助代数的计算和分析得以严谨化。下面，我将从3个方面来说明数形结合思想在解题中的应用(一)、解

2、决集合问题在集合运算中常常借助于数轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。例1:已知集合A=[0,4],B=[-2,3],求A∩B。分析:对于这两个有限集合,我们可以将它们在数轴上表示出来,就可以很清楚的知道结果。如图1,由图我们不难得出A∩B=[0,3]。图1例2：某校高二年级参加市级数学竞赛，已知共有40个学生参加第二试（第二试共3道题），参赛情况如下：①40个学生每人都至少解出一道题②在没有解出第一道题的学生中，图2解出第二道题的人数是解出第三道题人数的2倍③仅解出第一道题的人数比余下的学生中解出第一道题的人数多1个④仅解出一道题的学生中有一半没有

3、解出第一道题试问：（1）仅解出第二道题的学生有几个？（2）解出第一道题的学生有几个？分析本题数量关系错综复杂，似乎与集合无关，但若把“解出第一道题”、“解出第二道题”和“解出第三道题”的学生分别看作一个集合，则可利用韦恩图直观求解.解答设集合A={解出第一道题的学生数}，集合B={解出第二道题的学生数}，集合C={解出第三道题的学生数}，如图2，可得解之得a=11，b=10，c=1，d+e+g=10所以仅解出第二道题的学生有10个，解出第一道题学生有21个.(二)、解决函数问题利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是

4、函数教学中的一项重要内容。例3:对于xR,y取4-x,x+1，(5-x)三个值的最小值。求y与x的函数关系及最大值。分析：在分析此题时,要引导学生利用数形结合思想,在同一坐标系中,先分别画出y=4-x,y=x+1,y=(5-x)的图像，如图3。易得:A(1,2)，B(3,1),分段观察函数的最低点，故y与x的函数关系式是:y=图3它的图像是图形中的实线部分。结合图像很快可以求得,当x=1时,y的最大值是2。例4:若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数，且f(2)=0,求f(x)<0的x的范围。解:由偶函数的性质,y=f(x)关于y轴对称,由y=f(x)在(-∞,0)上

5、为减函数,且f(-2)=f(2)=0,做出图4,由图像可知f(x)<0，所以x（-2，2)图4(三)、解决方程与不等式的问题处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。例5:已知关于x的方程=px，有4个不同的实根,求实数p的取值范围。分析:设y==与y=px这两个函数在同一坐标系内,画出这两个函数的图像,如图5。可知：图5(1)直线y=px与y=-(x-4x+3),x[1,3]相切时原方程有3个根。(2)y=px与x轴重合时,原方程有两个解,故满足条件的直线y=px应介于这两者

6、之间,由:得x+(p-4)x+3=0,再由△=0得,p=4±2,当p=4+2时,x=-[1,3]舍去,所以实数p的取值范围是01时,在（0,)上y=㏒x图像(如图6)在y=x的图像下方,不合题意。图6②当0

7、上有a∈。从以上几个例子可以看出，在数学中只要我们注意运用数形转化思想，既可增加学生们对数学的兴趣，同时又能提高对数学问题的理解力和解题能力，也是提高数学素质不可缺少的因素之一。掌握数学”双基”,培养数学能力是数学教学最重要的目的.而“培养思维品质是发展智力与能力的突破口”，”学生数学能力的差异通过数学思维的深刻性、灵活性、独创性、批判和敏捷性等思维品质来体现”，“思维的深刻性是一切思维品质的基础”。数形结合有利于提高思