[初一数学]乘法公式

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1、乘法公式  一、平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2  要注意等式的特点:  (1)等式的左边是两个二项式的乘积,且这两个二项式中,有一项相同,另一项互为相反数;  (2)等式的右边是一个二项式,且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方.  值得注意的是,这个公式中的字母a,b可以表示数,也可以是单项式或多项式.平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式,也可以逆用做为快速计算的工具.  例1 下列各式中不能用平方差公式计算的是(  ).  A.(a-b)(-a-b) B.(a2-b2)(a2+b2)  C.(a+b)

2、(-a-b) D.(b2-a2)(-a2-b2)  解:C.根据上面平方差公式的结构特点,A中,-b是相同的项,a与-a是性质符号相反的项,故可使用;B中a2是相同项,-b2与b2是互为相反数符合公式特点;同样D也符合.而C中的两个二项式互为相反数,不符合上述的等式的特征,因此不可使用平方差公式计算.  例2 运用平方差公式计算:  (1)(x2-y)(-y-x2);  (2)(a-3)(a2+9)(a+3).  解:(1)(x2-y)(-y-x2)  =(-y+x2)(-y-x2)  =(-y)2-(x2)2  =y2-x4;  (2)

3、(a-3)(a2+9)(a+3)  =(a-3)(a+3)(a2+9)  =(a2-32)(a2+9)  =(a2-9)(a2+9)  =a4-81.  例3 计算:  (1)54.52-45.52;  (2)(2x2+3x+1)(2x2-3x+1).  分析:(1)中的式子具有平方差公式的右边的形式,可以逆用平方差公式;(2)虽然没有明显的符合平方差公式的特点,值得注意的是,平方差公式中的字母a,b可以表示数,也可以是单项式或多项式,我们可以把2x2+1看做公式中字母a,以便能够利用公式.正如前文所述,利用平方差可以简化整式的计算.  

4、解:(1)54.52-45.52  =(54.5+45.5)(54.5-45.5)  =100×9  =900;  (2)(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)  =(2x2+1)2-(3x)2  =4x4+4x2+1-9x2=4x4-5x2+1  二、完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2    (a-b)2=a2-2ab+b2.  二项式的平方,等于其中每一项(连同它们前面的符号)的平方,加上这两项积的两倍.  完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式,在有关代数式的变形和求值中应用广泛.正确运用完全平方公式就要抓住公式

5、的结构特点,通过与平方差公式的类比加深理解和记忆.运用中要防止出现(a±b)2=a2±b2,或(a-b)2=a2-2ab-b2等错误.  需要指出的是,如同前面的平方差公式一样,这里的字母a,b可以表示数,也可以是单项式或多项式.  例1 利用完全平方公式计算:  (1)(-3a-5)2; (2)(a-b+c)2.  分析:有关三项式的平方可以看作是二项式的平方,如(a-b+c)2=[(a-b)+c]2或[a-(b-c)]2,通过两次应用完全平方公式来计算.  解:(1)(-3a-5)2  =(-3a)2-2×(-3a)×5+52  =9

6、a2+30a+25  (2)(a-b+c)2  =[(a-b)+c]2  =(a-b)2+2(a-b)c+c2  =a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2  =a2+b2+c2+2ac-2ab-2bc.  例2利用完全平方公式进行速算.  (1)1012   (2)992  解:(1)1012          分析:将1012变形为(100+1)2原式可  =(100+1)2              利用完全平方公式来速算.  =1002+2×100×1+12  =10201  解:(2)992          分析:将992变形

7、为(100-1)2原式可  =(100-1)2             利用完全平方公式来速算.  =1002-2×100×1+12  =9801  例3 计算:  (1) 992-98×100 ;(2)49×51-2499.  解:(1)992-98×100   =(100-1)2-98×100  =1002-2×100+1-9800  =10000- 200-9800+1  =1;  (2)49×51-2499  =(50-1)(50+1)-2499  =2500-1-2499  =0.  例4 已知a+b=8,ab=10,求a2+b

8、2,(a-b)2的值.  分析:由前面的公式变形可以知道:a2+b2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab.  解:由于a2+b2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a

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