[初一数学]乘法公式.doc

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1、乘法公式　　一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2　　要注意等式的特点：　　（1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数；　　（2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方．　　值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具．　　例１　下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　）．　　A．（a－b）（－a－b）　B．（a

2、2－b2）（a2＋b2）　　C．（a＋b）（－a－b）　D．（b2－a2）（－a2－b2）　　解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算．　　例２　运用平方差公式计算：　　（１）（x2－y）（－y－x2）；　　（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）．　　解：（１）（x2－y）（－y－x2）　　＝

3、（－y＋x2）（－y－x2）　　＝(－y)2－（x2）2　　＝y2－x4；　　（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）　　＝（a－3）（a＋3）（a2＋9）　　＝（a2－32）（a2＋9）　　＝（a2－9）（a2＋9）　　＝a4－81．　　例３　计算：　　（１）54.52－45.52；　　（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)．　　分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也

4、可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算．　　解：（１）54.52－45.52　　＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5)　　＝100×9　　＝900；　　（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)　　=(2x2+1)2-(3x)2　　=4x4+4x2+1-9x2=4x4-5x2+1　　二、完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2　　　　(a－b)2＝a2－2ab＋b2．　　二项式的平方，等于其中每一项

5、（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍．　　完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2＝a2－2ab－b2等错误．　　需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．　　例１　利用完全平方公式计算：　　（１）（－3a－5）2；　（２）（a－b＋c）2．　　分析：有关三项

6、式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．　　解：（１）（－3a－5）2　　＝（－3a）2－2×（－3a）×5＋52　　＝9a2＋30a＋25　　（２）（a－b＋c）2　　＝[（a－b）＋c]2　　＝（a－b）2＋2（a－b）c+c2　　＝a2－2ab＋b2＋2ac－2bc+c2　　＝a2＋b2+c2＋2ac－2ab－2bc．　　例２利用完全平方公式进行速算.　　(1)1012　　　(2)992　　解:(1)10

7、12　　　　　　　　　　分析:将1012变形为(100+1)2原式可　　=(100+1)2　　　　　　　　　　　　　　利用完全平方公式来速算.　　=1002+2×100×1+12　　=10201　　解:(2)992　　　　　　　　　　分析:将992变形为(100-1)2原式可　　=(100-1)2　　　　　　　　　　　　　利用完全平方公式来速算.　　=1002-2×100×1+12　　=9801　　例３　计算：　　（１）　992－98×100　；（２）49×51－2499．　　解：（１）992－9

8、8×100　　　＝（100－１）2－98×100　　＝1002－２×100＋１－9800　　＝10000－　200－9800＋１　　＝１；　　（２）49×51－2499　　＝（50－1）（50＋１）－2499　　＝2500－1－2499　　＝０．　　例４　已知a＋b＝8，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值．　　分析：由前面的公式变形可以知道：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．　　解：由于a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a