浅析相对差损失函数下的保费估计

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1、浅析相对差损失函数下的保费估计　　1模型的基本假设　　大多数保费原理都具有正的安全负荷，常见的保费原理有期望值原理、指数保费原理、Esscher保费原理、修正方差原理、条件尾期望保费原理、修正条件尾期望保费原理、Kamp保费原理等。本文在相对差损失函数下得出了风险保费的信度估计和经验Bayes保费估计。　　全文作如下假设，对随机变量X的函数求期望时，均假设该期望存在。　　定义：对随机变量X，若用a来估计，损失函数为：　　L(X，a)=(1-aX)2(*)　　称上式为相对差损失函数。　　定理1若取损失函数(*)，

2、求解最优化问题　　minP∈RE[L(X，P)]=minP∈RE(1-PX)2，　　得到最优保费P=E(X-2)E(X-1)。　　证记φ=E(1-PX)2，则坠φ坠P=2E(1-PX)(-1PXP)，　　令坠φ坠P=0得E(1X)=E(PX2)，　　于是P=E(X-2)E(X-1)，即得证。　　根据定理1保证了风险随机变量X最佳的估计是在相对差损失函数下给出的最优保费P，我们通常称此种保费为聚合估计，记为H(X)，此保费是在相对差损失函数下得到的。　　给定风险参数&T

3、heta;的条件下，作以下假定：　　假定1风险参数Θ可以识别非负随机变量X，并且π(θ)是风险参数Θ的先验分布。　　假定2给定Θ=θ，随机列X1，X2，，Xn是独立的，与X是同分布的，并且有同样的分布函数FX(x，θ)，记Xn=(X1，X2，，Xn)，表示到时刻n为止的索赔经历。　　2风险保费的估计　　定理2如果已知风险参数Θ，那么我们就能用一个函数P(θ)来预测Xn+1(未来的索赔)，在相对差损失函数(*)下

4、，求解：　　minP(θ)E[L(Xn+1，P(θ))

5、θ]=minP(θ)E[(1-P(θ)Xn+1)2

6、θ]，得到P(θ)=E(X-2n+1)E(X-1n+1)。证记ψ=E[(1-P(θ)Xn+1)2

7、θ]，则坠ψ坠P=E2(1-P(θ)Xn+1)(-1Xn+1P)

8、θP，令坠ψ坠P=0，定理即得证。　　函数P(θ)通常叫做风险随机变量X的风

9、险保费，在实际问题中因为风险参数是未知的，所以保费P(θ)也是不知道的，因此可以通过样本估计P(θ)。　　当n=0时，也就是索赔样本没有的情况下，这时的风险保费P(θ)我们可以通过一个实数P来估计，要让相对差损失函数(*)达到最小，也就是下面最优化的问题：　　minP∈RE[L(P(θ)，P)]=minP∈RE(1-P(θ)PP)P2，得到P=E[P-2(θ)]E[P-1(θ)]。通过观察风险X的索赔样本Xn

10、，就需要根据样本的一个函数来构造风险保费估计。记表示样本Xn所有的可测函数构成的一个集合，在这个集合中，我们考虑最小化的问题：　　H1(Xn)=minH(Xn)∈E[L(P(θ)，H(Xn))]=minH(Xn)∈E1-H(Xn)θP(θ)θ2PP(1)　　定理3最优化(1)式，得到最优预测为H1(Xn)=E[P-(1θ)]E[P-(2θ)]，称H1(Xn)为相对差损失函数(*)下的Bayes保费。　　证由Bayes定理

11、可知，最优化(1)式只需在后验分布下达到最小，　　记ψ=E1-H(Xn)θP(θ)θ2

12、XnPP，　　令坠ψ坠H=0，得到下面的正规方程：　　E21-H(Xn)θP(θ)θ-1θP(θ)θ

13、XnPP=0，化简后定理即得证。H1(Xn)是风险保费在相对差损失函数(*)下最优的估计，这里我们称之为Bayes估计。在一些分布的假定下，Bayes估计可以得到更加简单的式子，但是一般来说Bayes估

14、计H1(Xn)的表达式都会复杂，甚至有些可能根本没有显示函数的形式。我们看下面的例子。　　例设X1，X2，，Xn，Xn+1在风险参数Θ=θ给定时为独立同分布的随机变量，且Xi~U(1，θ)，θ~U(2，3)，则f(X

15、Θ)=1θ-1，π(θ)=1，　　那么，风险保费为　　P(θ)=E[