材料力学简单的超静定问题答案

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1、6-1 试作图示等直杆的轴力图。解：取消A端的多余约束，以代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。      因为固定端不能移动，故变形协调条件为：故故返回6-2 图示支架承受荷载各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为，和。试求各杆的轴力。解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点A移至。此时各杆的变形及如图所示。现求它们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。                          即：亦即：　将 ，，代入，得：即：亦即：                              （1）此即补充方程。与上述变形对应的内力如图所示。根据节点

2、A的平衡条件有：；亦即：                           （2）；， 亦即：                                                    （3）联解（1）、（2）、（3）三式得：（拉）（拉）（压）返回6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。解：因为2，4两根支柱对称，所以，在F力作用下：  变形协调条件： 补充方程：求解上述三个方程得： 返回6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如图

3、所示。如已知，两根钢杆的横截面面积，试求两杆的轴力和应力。解：，                               （1）又由变形几何关系得知：，                        （2）联解式（1），（2），得，故，返回6-5(6-7) 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。试求短木柱的许可荷载。解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：                  （1）由木柱与角钢间的变形相容条件，有      

4、                           （2）由物理关系：                  （3）式（3）代入式（2），得 （4）解得： 代入式（1），得：（2）许可载荷 由角钢强度条件由木柱强度条件：故许可载荷为：返回6-6(6-9) 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离。已知上、下两段杆的横截面面积分别为和，材料的弹性模量。试作图示荷载作用下杆的轴力图。解：变形协调条件故      故 ，返回6-7(6-10) 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；杆材料的弹性模量为，线膨胀系数℃-1。试求当温度升高℃后

5、，该杆各部分产生的应力。解：设轴力为，总伸长为零，故    ==返回6-8(6-11) 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩。若，试求固定端的支反力偶矩，并作扭矩图。解：解除B端多余约束，则变形协调条件为即 故：即：解得：由于 故  返回6-9(6-13) 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，如图所示。两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一个角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B上的外力偶。试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大？已知管A和杆B的极惯性矩分别为；两杆的材料相同，其切变模量为

6、G。解：解除Ⅱ端约束，则Ⅱ端相对于截面C转了角，（因为事先将杆B的C端扭了一个角），故变形协调条件为=0故：故：故连接处截面C，相对于固定端Ⅱ的扭转角为：   =而连接处截面C，相对于固定端I的扭转角为：  =应变能         =        =返回6-10(6-15) 试求图示各超静定梁的支反力。解（a）：原梁AB是超静定的，当去掉多余的约束铰支座B时，得到可静定求解的基本系统（图i）去掉多余约束而代之以反力，并根据原来约束条件，令B点的挠度，则得到原超静定梁的相当系统（图ii）。利用的位移条件，得补充方程： 由此得：由静力平衡，求得支反力，为：            

7、                            剪力图、弯矩图分别如图（iii），（iv）所示。梁的挠曲线形状如图（v）所示。这里遵循这样几个原则：（1）固定端截面挠度，转角均为零；（2）铰支座处截面挠度为零；（3）正弯矩时，挠曲线下凹，负弯矩时，挠曲线上凸；（4）弯矩为零的截面，是挠曲线的拐点位置。（b）解：由相当系统（图ii）中的位移条件，得补充方程式：     因此得支反力：根据静力平衡，求得支反力：    ,       　剪力图、弯矩图，挠曲线图分别如图（iii