数学建模题（洁具流水时间设计）

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1、洁具流水时间设计摘要本文是关于洁具流水的节水，保持清洁，节约能源的优化设计问题，即在给定人持续使用节水的时间和使用人数段概率的条件，确定最优解，使得洁具可达到最大限度节约水电的目的。本文从保持清洁，节约能源的视角解决该问题，建立了一个数学模型。模型：把一个人使用洁具的全过程所需水量的期望值作为优化模型的目标函数，通过分区间讨论T的取值，对目标函数求导，解出其相应区间的最优值，从中选取一组最优解作为洁具流水时间设计的最佳方案，很好的解决了方案一的不清洁问题以及方案二的能源浪费问题。最佳时间T为15.09秒。洁具流水时间设计1.问题的提出我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到

2、世界平均数的四分之一。据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出60%以上。在男性用的全自动洁具中，为达到节能目的，通过控制放水时间和次数来实现。改进洁具的性能，其中控制放水时间为主要因素。因此，在一定的限制与实用的情况下，选择合适的放水时间尤为重要。本论文试图从最优化的角度建立满足设计要求的洁具流水时间的数学模型，借助与计算机的高速运算与逻辑判断能力，求出最优的放水时间并画出相应的图形。2.问题的分析为了分析问题方便，由于该模型中考虑洁具使用寿命，规定最多放水两次。3.模型假设（1）洁具放水次数不超过两次；（2）洁具的单位时间内流水

3、量为常数；（3）洁具以均匀水流放水；4.符号说明T:放水持续时间参数；f:放水持续时间；V：洁具的单位时间内流水量为常数；E：T的期望；D：T的方差；5.题目中方案一与方案二模型求解5.1题目中的数据厂家随机调查100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间时间（秒）12131415161718人次1512601363（图一）100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间的正态分布图（图二）5.2题目中的方案一的分析设上一个使用者离开和下一个使用者开始使用洁具时间间隔充分大，可以保证洁具不受下一个使用者的影响。则方案一时间的计算如下：当使用时间不超过T-5秒时，放水一次，时间为T秒。否则放

4、水时间为T+10秒。数学表达式如下根据图一，将T划分区间：若0

5、+T）秒，T=20时，T总=2220秒；若16≤T-5<17，即21≤T<22，那么91个人放水一次为T秒，其余9人为（10+T）秒，T=21时，T总=2190秒；若17≤T-5<18，，即22≤T<23，那么97个人放水一次为T秒，其余3人为（10+T）秒，T=22时，T总=2230秒；若18≤T-5，即23≤T，那么100个人放水一次为T秒，T=23时，T总=2300秒；5.3题目中的方案二的分析：考虑寿命的问题，则确定每位使用者使用时的冲水此时不超过2次。当使用时间不超过T-5秒时，放水一次，时间为T秒。否则，到2T时刻再开始第二次放水，总的放水时间为2T。依次类推，使用时间超过

6、n×T-5时，到第2n×T的时刻再开始第n+1次放水，时间为(n+1)×T。数学表达式如下：18≤2T-5T≥11.5若,0

7、T,故T总=2266秒;若18≤T-5,则100T,故T总=2300秒;5.4对方案一和方案二的评价100人用水时间的累加（图三）根据两个方案的数据可知,方案一的T的最佳值为21秒;方案二的T的最佳值22.对于节约,方案一更适合,对于清洁,方案二更适合.6．模型的建立及求解6.1模型的建立把一个人使用洁具的全过程所需水量的期望值作为优化模型的目标函数，通过分区间讨论T的取值，对目标函数求导，解出其相应区间的最优值，从中选取一组最优解作为洁具流水