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时间:2018-10-30
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1、大一上学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1..(A)(B)(C)(D)不可导.2..(A)是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B)是等价无穷小;(C)是比高阶的无穷小;(D)是比高阶的无穷小.3.若,其中在区间上二阶可导且,则().(A)函数必在处取得极大值;(B)函数必在处取得极小值;(C)函数在处没有极值,但点为曲线的拐点;(D)函数在处没有极值,点也不是曲线的拐点。4.(A)(B)(C)(D).二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5..6..7..8..三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)
2、9.设函数由方程确定,求以及.10.51.2.设函数连续,,且,为常数.求并讨论在处的连续性.3.求微分方程满足的解.四、解答题(本大题10分)4.已知上半平面内一曲线,过点,且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)5.过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)6.设函数在上连续且单调递减,证明对任意的,.7.设函数在上连续,且,.证明:
3、在内至少存在两个不同的点,使(提示:设)答案一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5..6..7..8..三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9.解:方程两边求导5,9.解:10.解:11.解:由,知。,在处连续。12.解:,四、解答题(本大题10分)59.解:由已知且,将此方程关于求导得特征方程:解出特征根:其通解为代入初始条件,得故所求曲线方程为:五、解答题(本大题10分)10.解:(1)根据题意,先设切点为,切线方程:由于切线过原点,解出,从而切线
4、方程为:则平面图形面积(2)三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1,则曲线与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分)11.证明:故有:证毕。12.证:构造辅助函数:。其满足在上连续,在5上可导。,且由题设,有,有,由积分中值定理,存在,使即综上可知.在区间上分别应用罗尔定理,知存在和,使及,即.5
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