基本不等式练习题及答案

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1、双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋(x＞0)的值域为(　　)．A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②≤2；③x2＋≥1，其中正确的个数是(　　)．A．0B．1C．2D．33．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为(　　)．A.B．1C．2D．44．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)．A．1＋B．1＋C．3D．45．已知t＞0，则函数y＝的最小

2、值为________．考向一　利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．【训练1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋的最小值为________．(2)已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．考向二　利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥

3、a＋b＋c.．【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.考向三　利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．【训练3】(2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．考向三　利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m．房屋正面的造价为

4、400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？【训练3】(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝.若水晶产品的销售价格不变，第

5、n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【试一试】(2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是(　　)．A．1B．2C．3D．4双基自测D．(2，＋∞)答案　C2．解析　①②不正确，③正确，x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1.答案　B3．解析　∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.答案　A4．解析　当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2

6、)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.答案　C5．解析　∵t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等号．答案　－2　　【例1】解析　(1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝时，取等号．(2)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．答案　(1)3＋2　(2)1【训练1】．解析　(1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3　当且仅当x＝2时取等号．(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x

7、)＝·5x·(2－5x)，∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤2＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＝10＋2≥10＋2×2×＝18，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.答案　(1)3　(2)　(3)18【例2】证明　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2＝2c；＋≥2＝2b；＋≥2

8、＝2a.以上三式相加得：2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.【训练2】证明　∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．解析　若对任意x＞0，≤a恒成立，只需求得y＝的最大值即可，因为x＞0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值范围是答案　【训练3】解析　由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案　10