基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(答案)

《基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,，b>0，则≥，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)注：不等式a2＋b2≥2ab和≥它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab≤（）2.(3)ab≤(a，b∈R)．(4)＋≥2(a，b同号且不为0)．(5)(a，b∈R).（6）(7)ab

2、c≤;(8)≥；3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；..或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)A.6B.4C.2D.2解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥2＝2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为(　　)A.B.1C.2D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b

3、＝2≥2，即ab≤.当且仅当a＝1，b＝时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则(　　)A.a＜v＜B.v＝C.＜v＜D.v＝解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝＝＜＝.又v－a＝－a＝＞＝0，∴v＞a.故选A.()若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________.解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋≥2，当且仅当x＝±时等号成立.故填2.点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________.解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1，所以mn≤＝，

4、当且仅当m＝n＝时取等号，..∴log2m＋log2n＝log2mn≤log2＝－2，故填－2.类型一　利用基本不等式求最值　(1)求函数y＝(x＞－1)的值域.解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝＝m＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故ymin＝9.又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是(　　)A.lg>lgx(x>0)B.sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C.x2＋1≥2(x∈R)D.>1(x∈R)解：A中，x2＋≥x(x＞0)，当x＝时，x2＋＝x.B中，sinx＋≥2(sinx∈(0，1]

5、)；sinx＋≤－2(sinx∈[－1，0)).C中，x2－2

6、x

7、＋1＝(

8、x

9、－1)2≥0(x∈R).D中，∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在...　(1)已知t＞0，则函数f(t)＝的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝＝t＋－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2

10、)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.类型二　利用基本不等式求有关参数范围　若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4

11、＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有(　　)A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k..的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求