【AAA】基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,，b>0，则≥，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)注：不等式a2＋b2≥2ab和≥它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab≤（）2.(3)ab≤(a，b∈R)．(4)＋≥2(a，b同号且不为0

2、)．(5)(a，b∈R).（6）(7)abc≤;(8)≥；3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)A.6B.4C.2D.2解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥2＝2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，故选B.若a＞0，b＞0

3、，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为(　　)A.B.1C.2D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.当且仅当a＝1，b＝时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则(　　)A.a＜v＜B.v＝C.＜v＜D.v＝解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝＝＜＝.又v－a＝－a＝＞＝0，∴v＞a.故选A.()若实数R，R满足RR＝1，则R2＋2R2的最小值为________.解：由RR＝1得R2＋2R2＝R2＋≥2，当且仅当R＝±时等号成立.故填2.点(m，n)在直线R＋R＝1位于第一象限内

4、的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________.解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1，所以mn≤＝，当且仅当m＝n＝时取等号，∴log2m＋log2n＝log2mn≤log2＝－2，故填－2.【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】类型一　利用基本不等式求最值　(1)求函数R＝(R＞－1)的值域.解：∵R＞－1，∴R＋1＞0，令m＝R＋1，则m＞0，且R＝＝m＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故Rmin＝9.又当m→＋∞或m→0时，R→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是(　　)A.lg>

5、lgR(R>0)B.sinR＋≥2(R≠kπ，k∈Z)C.R2＋1≥2(R∈R)D.>1(R∈R)解：A中，R2＋≥R(R＞0)，当R＝时，R2＋＝R.B中，sinR＋≥2(sinR∈(0，1])；sinR＋≤－2(sinR∈[－1，0)).C中，R2－2

6、R

7、＋1＝(

8、R

9、－1)2≥0(R∈R).D中，∈(0，1](R∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(R)＝的最值问题，只要分母R＋d＞0，都可以将f(R)转化为f(R)＝a(R＋d)＋＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件

10、——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.　(1)已知t＞0，则函数f(t)＝的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝＝t＋－4≥－2，【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知R＞0，R＞0，且2R＋8R－RR＝0，求：(Ⅰ)RR的最小值；(Ⅱ)R＋R的最小值.解：(Ⅰ)由2R＋8R－RR＝0，得＋＝1，又R＞0，R＞0，则1＝＋≥2＝，得RR≥64，当且仅当R＝4R，即R＝16，R＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2R＋8R－RR＝0，得R＝，∵R＞0，∴R＞2，则R＋R＝R＋＝(

11、R－2)＋＋10≥18，当且仅当R－2＝，即R＝6，R＝12时等号成立.解法二：由2R＋8R－RR＝0，得＋＝1，则R＋R＝·(R＋R)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当R＝6，R＝12时等号成立.类型二　利用基本不等式求有关参数范围　若关于R的不等式(1＋k2)R≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有(　　)A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)R≤k4＋4⇒R≤＝(k2＋1)＋－2⇒R≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等