3.4 基本不等式练习题及答案解析 必修5

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1、www.xkb1.com新课标第一网不用注册，免费下载！1．若xy＞0，则对＋说法正确的是(　　)A．有最大值－2　　　　　　B．有最小值2C．无最大值和最小值D．无法确定答案：B2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是(　　)A．400B．100C．40D．20答案：A3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋有最小值____．答案：2　44．已知f(x)＝＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，∴，4x＞0.∴＋4x≥2＝8.当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，∴当x＞0时，f(x)的最小

2、值为8.(2)∵x＜0，∴－x＞0.则－f(x)＝＋(－4x)≥2＝8，当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．新课标第一网∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是(　　)A．x＋B．x2－1＋C．2x＋2－xD．x(1－x)答案：C2．函数y＝3x2＋的最小值是(　　)A．3－3B．－3新课标第一网系列资料www.xkb1.comwww.xkb1.com新课标第一网不用注册，免费下载！C．6D．6－3解析：选D.y＝3(x2＋)＝3(x2＋1＋－1)≥3(2－1)＝6－3.3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值

3、是(　　)A．200B．100C．50D．20解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：①∵a，b∈(0，＋∞)，∴＋≥2＝2；②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2；③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；www.xkb1.com④∵x，y∈R，，xy＜0，∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2.其中正确的推导过程为(　　)A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a，b∈(0，＋∞)，∴，∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,

4、1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的；④由xy＜0得，均为负数，但在推导过程中将全体＋提出负号后，(－)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是(　　)A．2B．2C．4D．5解析：选C.∵＋＋2≥＋2≥2＝4.当且仅当时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有(　　)新课标第一网系列资料www.xkb1.comwww.xkb1.com新课标第一网不用注册，免费下载！A．最大值

5、64B．最大值C．最小值64D．最小值解析：选C.∵x、y均为正数，∴xy＝8x＋2y≥2＝8，当且仅当8x＝2y时等号成立．∴xy≥64.二、填空题7．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．www.xkb1.com答案：18．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．解析：1＝x＋4y≥2＝4，∴xy≤.答案：大　9．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．解析：∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x＞－1，求函

6、数y＝x＋＋6的最小值；(2)求函数y＝(x＞1)的最值．解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴y＝x＋＋6＝x＋1＋＋5www.xkb1.com≥2＋5＝9，当且仅当x＋1＝，即x＝1时，取等号．∴x＝1时，函数的最小值是9.(2)y＝＝＝(x＋1)＋新课标第一网系列资料www.xkb1.comwww.xkb1.com新课标第一网不用注册，免费下载！＝(x－1)＋＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.∴(x－1)＋＋2≥2＋2＝8.当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立，∴y有最小值8.11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)·(－1)·(－1)≥8.证明：

7、∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，∴－1＝＝＝＋≥，同理－1≥，－1≥，以上三个不等式两边分别相乘得(－1)(－1)(－1)≥8.当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x米，则宽为米．总造价f(x)＝400×(2x＋2×)＋