人教版高中数学必修5教案及学案(含答案)3.4基本不等式

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1、3.4.1基本不等式(1)学校:临清二中学科:数学编写人:郑敏杰审稿人:丁良之1【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式的证明过程;【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式的几何背景:探究:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家

2、赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。2合作探究(1)问题1:你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?(教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。系)提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、,那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?生答:,提问3:那4个直角三角形的面积和呢?生答:提问4:好,根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等式,。什么时候这两部分面积相等呢?生答:当直角三角形变成等腰直角三角形,即时,正方形EFGH变成一个点

3、,这时有结论:(板书)一般地,对于任意实数、,我们有,当且仅当时,等号成立。提问5:你能给出它的证明吗?(学生尝试证明后口答,老师板书)证明:所以注意强调当且仅当时,(2)特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式的性质推导(板书,请学生上台板演):要证:①即证②要证②,只要证③要证③,只要证(-)④显然,④是成立的,当且仅当时,④的等号成立(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数探究:课本中的“探究”在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、B

4、D。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB即CD=.这个圆的半径为,显然,它大于或等于CD,即,其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,等号成立.因此:基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述:1.如果把看作是正数a、b的等差中项,看作是正数a、b的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.即学即练:1若且,则下列四个数中最大的是     ()A.     B.     C.2ab      D.a2a,b是正数,则三个数的大小顺序是 (  )A.  B.  C. 

5、 D.答案BC例题分析:(1)=2即≥2.(2)x+y≥2>0x2+y2≥2>0x3+y3≥2>0∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2·2·2=8x3y3即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.变式训练:X>0,当X取何值时X+有最小值,最小值是多少解析:因为X>0,X+≥2=2当且仅当X=时即x=1时有最小值2点评:此题恰好符合基本不等式的用法,1正2定3相等可以具体解释每一项的意思。当堂检测:1.下列叙述中正确的是().(A)两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数(B)两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数(C)若两个数的

6、和为常数,则它们的积有最大值(D)若两个数的积为常数,则它们的和有最小值12下面给出的解答中,正确的是().(A)y=x+≥2=2,∴y有最小值2(B)y=

7、sinx

8、+≥2=4,∴y有最小值4(C)y=x(-2x+3)≤=,又由x=-2x+3得x=1,∴当x=1时,y有最大值=1(D)y=3--≤3-2=-3,y有最大值-33.已知x>0,则x++3的最小值为().(A)4(B)7(C)8(D)114.设函数f(x)=2x+-1(x<0),则f(x)().(A)有最大值(B)有最小值(C)是增函数(D)是减函数1B2.D3B4.A基本不等式第一课时课前预

9、习学案一、预习目标不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理。二、预习内容一般地,对于任意实数、,我们有,当,等号成立。两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,字母表示:。三、提出疑惑同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案教学目标,不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义教学重点】应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式的证明过程;【教学难点】基本不等式

10、等号成立条件合作探究1证;强调:当且仅当时,特别地,如果,也可写成

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