第20届华杯赛小高决赛b卷-解析

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1、第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B（小学高年级组）一、填空题（每小题10份，共80分）1.计算：________．【难度】★【考点】计算：提取公因数【答案】【解析】2.甲、乙、丙、丁四人共植树60棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树________棵．【难度】★★【考点】应用题：分数应用题【答案】13【解析】甲=总数的三分之一=20，乙=总数的四分之一=15，丙=总数的五分之一=12，所以丁（棵）3.当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成________度的角．【难度】★★【

2、考点】行程：时钟问题【答案】106【解析】5点时，时针分针夹角150度，每分钟追赶度，所以8分钟追赶度，所以成度4.某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为________．【难度】★★【考点】数论：余数、最小公倍数【答案】122【解析】这个三位数减去2得到3、4、5、6的公倍数，取三位数120，所以最小值为122．1.贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国．对于一种这样的星球局势，共可以组成________个两两都是友国的三国联盟．【难度】★★★★【考点】计数：组合计数【

3、答案】7【解析】用这7个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表示友国关系．则每个国家连出2条虚线，4条实线．共条虚线，其余为实线．首先说明这7个点必然由7条虚线依次连接为一个闭合回路．必与两个点连接虚线，不妨记为，而必然再与一个点连接虚线，记为；虚线连接，否则剩下3个点互为敌国关系；虚线连接，否则剩下两个点无法由2条虚线连接；虚线连接，最后只能虚线连接．最终连线图如下．只要选出的三个点没有任何两个相邻则满足条件．有135，136，146，246，247，257，357，这7种．（为了直观我们用分别代表）2.由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位

4、数之和为106656，则这些四位数中最大的是________，最小的是________．【难度】★★★【考点】数论:位值原理【答案】9421，1249【解析】设其中最小的四位数为，一共可组成个不同的四位数，由于每个数字在每位上均出现6次，则24个数和为，则四个数字之和为16，所以最大和最小的可能为，9421和1249、8521和1258、8431和1348、7621和1267、7531和1357、7432和2347、6541和1456、6532和2356．3.见右图，三角形的面积为1，，，则三角形的面积为________．【难度】★★★★【考点】几何：等积变形【答案】【解

5、析】设三角形的面积为，由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为，再设三角形的面积为，则有，得，则三角形的面积为．1.三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有________种可能数值．【难度】★★★★★【考点】组合：分类讨论数论综合【答案】4【解析】设三个数的个位分别为⑴如果都相等，则只能都为0；⑵如果中有两个相等，①且，必有，则，与为数字矛盾；②且，则有，则；⑶如果都不相等，设，则，则，与为数字矛盾；综上三个数的个位分别为0，0，0或0，5，5；⑴如果都为0，则乘积末尾3位为000；⑵如果为0，

6、5，5①如果个位为0的数，末尾3位都为0，则乘积末尾3位为000；②如果个位为0的数，末尾2位都为0，则乘积末尾3位为500或000；③如果个位为0的数，末尾1位为0设末尾两位为，设另外两个末尾2位为，则，若为奇数，则乘积末尾3位为75；若为偶数则乘积为25，在乘上,无论为多少，末尾三位只有000，250，500，750这4种．综上，积的末尾3位有000，500，250，750这4种可能．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）1.将1234567891011的某两位数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．【难度】★★★★【考点】数论：完全平方数【答

7、案】不能【解析】原数的数字和为，为3的倍数，而交换数字位置不会改变数字和，所以无论怎么调整得到的数一定为3的倍数；而一个平方数如果为3的倍数，则一定为9的倍数，而48不是9的倍数，所以无法通过交换数字位置得到一个完全平方数．2.如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为的长方体（为整数），余下部分的体积为120，求和．【难度】★★★【考点】几何：长方体正方体【答案】【解析】解得；，因为为整数，且，所以．3.圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲