1.2函数的三要素

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1、1.2函数的三要素1.2.1函数的定义域1．对函数定义域的理解：函数的定义域是自变量的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，是研究函数的重要内容.在给定函数的同时应该给定函数的定义域.如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的的取值范围或使实际问题有意义的的取值范围.2．确定函数定义域的方法：（1）如果是整式，那么函数的定义域是实数集R;（2）如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;（3）如果是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合;（4）如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合

2、，即求各集合的交集;（5）实际问题中，定义域要满足实际问题有意义.例1求下列函数的定义域：（1）；（2）.解：（1）要使函数有意义，必须解得，且.所以，函数的定义域为（2）要使函数有意义，必须解得且.所以，函数的定义域为.例2用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图1.2-1），若矩形底边长为，求此框架围成的面积与的函数式，并求它的定义域.解：设，则弧长为，于是ABCD2x图1.2-1..由题意知.所以，所求函数式为,其定义域为（）.例3已知函数的定义域为R，求实数的取值范围.分析：本题已知函数的定义域为R，说明函数恒有意义，也就是分母恒不为0.解：由题意知的解

3、集为R.当时，函数的定义域为R.当时，由，解得.所以，所求的取值范围是说明：给定定义域求参数的取值范围，要注意对二次项系数的讨论.3．复合函数的定义域：（1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则函数的定义域是使有意义的的集合，也就是不等式的解集.（2）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则函数在上的取范围就是的定义域.例4（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域；（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域.解：（1）的定义域为，.解得.所以，函数的定义域为.（2）的定义域为，，.所以，函数的定义域为.（3）函数的定义域为，，，

4、即函数的定义域为.，即.所以，函数的定义域.方法提炼：由的定义域，求复合函数的定义域，实质上是已知中间变量的值域，求自变量的取值范围.练习1：1.函数的定义域为(C)A．{x

5、x≥0}B．{x

6、x≥1}C．{x

7、x≥1}∪{0}D．{x

8、0≤x≤1}2.若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数的定义域是(B)A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)3.函数的定义域为__________.答案：1.2.2函数的解析式求函数解析式的常用方法有：（1）由实际问题建立函数关系式；（2）对函数特征已明确的函数，一般可用待定系数法；（3）对“已知，求的解

9、析式”的问题，一般用换元法；（4）若给出函数方程，一般可用构造方程组解出函数法；（5）复合函数，一般可用代入法.例5（1）已知是一次函数，且有，求；（2）已知是二次函数，且，求.解：（1）设.由题意，有.由已知，得.解得或或.（2）设.由，得..又由，得，即.解得方法提炼：本题给出的函数是模型函数（如一次函数、二次函数等），求函数的解析式一般用待定系数法.例6已知，求.解：方法一(换元法)令，则...方法二（配凑法）由题意，有.所以.又，.方法提炼：形如求一般使用换元法时，换元时一定要注意所换元的取值范围.例7（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式.解：（1）（取反消

10、元法），①.②由①,②，解之得（2）（取倒消元法），①.②由①,②，消去，得方法提炼：“”和“”是以函数为未知元的等式，叫做函数方程.一般可考虑构造方程组解出函数解析式.例8设是R上的函数，且满足，并且对任意实数有，求的解析式.解：取,则.而,方法提炼：本题给出的是抽象函数,求函数的解析式一般用赋值法.练习2：1.已知，则f(x)的解析式为(C)A.B．－C.D．－2.已知幂函数的图象过点，则的解析式为．答案：3.已知二次函数的最小值为4，且，求的解析式.答案：1.2.3函数的值域与最值1．函数值域的理解：函数的值域是全体函数值所组成的集合.是函数的三要素之一，它由定义域和对

11、应法则确定.2．确定函数值域的方法：（1）当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中实数的集合；（2）当函数用图象给出时，函数的值域是指图象在轴上的投影所对应的实数的集合；（3）当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及对应法则唯一确定；（4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定.3．常见函数的值域：（1）一次函数的值域为R.（2）二次函数：当时，值域为当时，值域为.（3）反比例函数的值域为.4．函数的最值：最大值：一般地，设函数)的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意的，都有；