第十九讲向量与圆锥曲线

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1、第十九讲向量与圆锥曲线（二）【例5】设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.解：（Ⅰ）解法一：易知，所以，设，则因为，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：∴由得：或又，∴又∵，即∴故由①、②得或【例6】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于

2、B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P.（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。（Ⅰ）证明:椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．设，，则：，，；因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为．所以，．四边形ABCD的面积．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．【例7】已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点。如果，且曲线E上存在点

3、C，使，求m的值和DABC的面积S。由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知，故曲线的方程为设，由方程组消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有解得又∵依题意得整理后得∴或但∴故直线的方程为设，由已知，得∴，又，∴点，将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意∴，点的坐标为，到的距离为∴的面积.【例8】已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．（I）求的取值范围；（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．解：（I

4、）由方程消得．①依题意，该方程有两个正实根，故解得．（II）由，求得切线的方程为，由，并令，得，是方程①的两实根，且，故，，是关于的减函数，所以的取值范围是．是关于的增函数，定义域为，所以值域为，（III）当时，由（II）可知．类似可得．．由①可知．从而．当时，有相同的结果．所以．★★★自我提升1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中a,bÎR，且a+b=1，则点C的轨迹方程为(D)A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=02、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,=,且满足

5、

6、+

7、

8、

9、=4.则点P(x,y)的轨迹是.(C)A．椭圆　B．双曲线　C．线段　　D．射线3、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为(C)4、直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是（A）.A、m≥1且m≠5B、m≥1C、m≠5D、m≤55、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,=,且满足

10、

11、-

12、

13、=2.则点P(x,y)的轨迹C的方程为__________.().6．已知A、B为抛物线x2=2py(p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则①y轴上恒存在一点K，使得；②；③存在实数l

14、使得；④若线段AB中点P在在准线上的射影为T，有。中说法正确的为___________①②③④7.已知椭圆，过P(1,0)作直线l，使得l与该椭圆交于A,B两点，l与y轴的交点为Q，且，求直线l的方程。解：直线l过P(1,0)，故可设方程为y=k(x-1)，因为，所以AB的中点与PQ的中点重合.由得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0所以，又xP+xQ=1故得，所求的直线方程为。8．已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D，设f(m)=

15、

16、AB

17、-

18、CD

19、

20、,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。解：（1）椭圆中，

21、a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-（2）∴当m=5时，当m=2时，