第十九讲向量与圆锥曲线

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时间:2018-10-24

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1、第十九讲向量与圆锥曲线(二)【例5】设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.解:(Ⅰ)解法一:易知,所以,设,则因为,故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值-2当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值1解法二:易知,所以,设,则(以下同解法一)(Ⅱ)显然直线不满足题设条件,可设直线,联立,消去,整理得:∴由得:或又,∴又∵,即∴故由①、②得或【例6】已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线交椭圆于

2、B、D两点,过的直线交椭圆于A、C两点,且,垂足为P.(Ⅰ)设P点的坐标为,证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值。(Ⅰ)证明:椭圆的半焦距,由知点在以线段为直径的圆上,故,所以,.(Ⅱ)(ⅰ)当的斜率存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得.设,,则:,,;因为AC与BC相交于点P,且AC的斜率为.所以,.四边形ABCD的面积.当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上,四边形ABCD的面积的最小值为.【例7】已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点。如果,且曲线E上存在点

3、C,使,求m的值和DABC的面积S。由双曲线的定义可知,曲线是以为焦点的双曲线的左支,且,易知,故曲线的方程为设,由方程组消去,得又已知直线与双曲线左支交于两点,有解得又∵依题意得整理后得∴或但∴故直线的方程为设,由已知,得∴,又,∴点,将点的坐标代入曲线的方程,得得,但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意∴,点的坐标为,到的距离为∴的面积.【例8】已知函数与的图象相交于,,,分别是的图象在两点的切线,分别是,与轴的交点.(I)求的取值范围;(II)设为点的横坐标,当时,写出以为自变量的函数式,并求其定义域和值域;(III)试比较与的大小,并说明理由(是坐标原点).解:(I

4、)由方程消得.①依题意,该方程有两个正实根,故解得.(II)由,求得切线的方程为,由,并令,得,是方程①的两实根,且,故,,是关于的减函数,所以的取值范围是.是关于的增函数,定义域为,所以值域为,(III)当时,由(II)可知.类似可得..由①可知.从而.当时,有相同的结果.所以.★★★自我提升1、平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中a,bÎR,且a+b=1,则点C的轨迹方程为(D)A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=02、已知是x,y轴正方向的单位向量,设=,=,且满足

5、

6、+

7、

8、

9、=4.则点P(x,y)的轨迹是.(C)A.椭圆 B.双曲线 C.线段  D.射线3、中心在原点,焦点在坐标为(0,±5)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为,则椭圆方程为(C)4、直线y=kx+1与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是(A).A、m≥1且m≠5B、m≥1C、m≠5D、m≤55、已知是x,y轴正方向的单位向量,设=,=,且满足

10、

11、-

12、

13、=2.则点P(x,y)的轨迹C的方程为__________.().6.已知A、B为抛物线x2=2py(p>0)上两点,直线AB过焦点F,A、B在准线上的射影分别为C、D,则①y轴上恒存在一点K,使得;②;③存在实数l

14、使得;④若线段AB中点P在在准线上的射影为T,有。中说法正确的为___________①②③④7.已知椭圆,过P(1,0)作直线l,使得l与该椭圆交于A,B两点,l与y轴的交点为Q,且,求直线l的方程。解:直线l过P(1,0),故可设方程为y=k(x-1),因为,所以AB的中点与PQ的中点重合.由得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0所以,又xP+xQ=1故得,所求的直线方程为。8.已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D,设f(m)=

15、

16、AB

17、-

18、CD

19、

20、,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。解:(1)椭圆中,

21、a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点F1(-1,0)则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-(2)∴当m=5时,当m=2时,

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