第十九讲 向量组的线性相关

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1、一、线性相关与线性无关的定义二、向量组线性相关的充要条件第二讲第四章向量组的线性相关性三、向量组线性相关性的判定定理1定义对于向量组，若存在不全为零的数，使得成立，则称向量组线性相关.若当且仅当时，等式才成立，则称向量组线性无关.一、向量组线性相关、线性无关的定义2例1.判别向量组的线性相关性.解:由定义上式即下面的线性方程组3因此，考虑向量组的线性相关性等价于考虑相应的齐次线性方程组是否有非零解.可以验证:是该齐次线性方程组的解，即所以该向量组是线性相关的.4的线性相关性.例2.判别向量组5事实上，要考察是不是线性相关，就是要看有没有不全为零的数使有无非

2、零解，因为其系数矩阵非奇异，即系数矩阵的秩为(向量的个数)，因此方程组只有零解，即当且仅当时才有，这表明线性无关.即看方程组62.包含零向量的任何向量组是线性相关的.是两向量共线；充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义它线性相关的对于含有两个向量的向量组,.3注意.,0,0,,1.线性无关则若线性相关则若时向量组只包含一个向量aaaaa¹=7定理1向量组线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示.二、向量组线性相关的充要条件定理2向量组a1,a2,···,am线性相关的充是R(A)=m.小于向量的个数m;向量组线性无关的充要条件要

3、条件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,···,am)的秩8例如：一定线性相关.推论：对个维向量，若，则该向量组线性相关.证：记这些向量组成的矩阵为，则由定理2知该向量组线性相关.9例1讨论向量组的线性相关性.解:(向量个数)，所以线性相关.10例2讨论3维单位向量的线性相关性.解:因为所以向量组线性无关.11证例3,0)()(133322211=+++++aaaaaaxxx）（即12由于此方程组的系数行列式.,,321线性无关bbb，所以向量组故方程组只有零解0321xxx===13三.向量组线性相关性的几个判定定理定理3若线性相关，则也线性相关.若维向量

4、组线性无关，则维向量组也线性无关.定理4设14例4讨论下列向量组的线性相关性.解:因为向量组分别是由加上一个分向量得到的,而线性无关，所以也线性无关.151.线性相关与线性无关的概念；2.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个充要条件，两个定理．（难点）小结:16