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1、精品文档线性代数练习题目一填空题◆1．设A为3阶方阵且A?2，则3A*?1?2A??；**只要与A有关的题，首先要想到公式，AA?AA?E，从中推你要的结论。这里A?AA*?1?2A?1代入?1A3A?1?2A???A?1?3A?1?注意：为什么是◆2．设?1??1??2,?2??2??3,?3??3??1，如?1,?2,?3线性相关，则?1,?2,?3线性______如?1,?2,?3线性无关，则?1,?2,?3线性______对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。?101?
2、?[?1,?2,?3]?[?1,?2,?3]?110??，记此为B?AK??011??这里r?r?r，切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！你来做下面的三个题：已知向量组?1,?2,?,?m线性无关。设?1??1??2,?2??2??3,?,?m?1??m?1??m,?m??m??1试讨论向量组?1,?2,?,?m的线性相关性。2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档已知?1,?2,?3线性无关，试问常数m,k满足什么条件时，向量组k?2??1,m?3??2,?1??3线性无关？线性相关？教材P103
3、第2题和P110例4和P113第4题◆3．设非齐次线性方程Am?4x?b，r?2，?1,?2,?3是它的三个解，且?1??2?T,?2??3?T,?3??1?T求该方程组的通解。对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数是多少，通解是如何构造的。其次要知道解得性质。你再做教材P147第3题◆4．当k?时，??能由?1?,?2?线性表示一个向量能否用一个向量组表示的问题，可转化为非齐次方程组有无解的问题。你来做：设??T，?1?T，?2?T，?3?T，问t为何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示；?能由?1,?2,?3线性表示且表法唯
4、一；?能由?1,?2,?3线性表示且表法无穷多并写出所有的表示方法。注意：2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档关于含参数的方程组求解，如果系数矩阵是方阵，用行列式的方法往往简单，如果不是方阵只有用初等行变换的方法了。◆5．设?1?1T?k1T?k2T，形式不13T，求?2,?3使Q???1,?2,?3?为正交矩阵求与一个向量正交的问题，就是解方程组的问题?1Tx?0当然要根据题之要求，还要使用Schimidt正交化，单位化过程你写一写正交矩阵的充要条件有哪些，如果给你两个正交向量求一个向量与它们都正交你也
5、应该会！二选择题◆1．设A,B为满足AB?0的两个非零矩阵，则必有A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关遇到Am?nBn?p?0，就要想到r?r?n以及B的列向量均是线性方程组Ax?0的解。另外：2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档遇到C?AB要想到C的列组都是A的列组的线性组合，C的行组都是B的行组的线性组合。从这个角度也可做此题，你来想想。◆2．设r?m?n，则。A???[
6、Em,O]A???[Em,O]n对?b?R，Ax?b必有无穷多解rc若BA?O?B?OTAA?0和是化标准形的问题。这里A是行满秩矩阵，必有m阶子式非零，这个m阶子式所在的行就是A的所有的行，只用列变换可把它所在的m列调到前面来CA???[Bm?m,C]此时B是非奇异矩阵，可只用列变换化为单位矩阵，然后用此单位矩阵只用列变换把后面的矩阵C消为零。故是对的。不对。对于要知道，如果A是行满秩矩阵，则Ax?b一定是有解的，这是因为m?r?r?m?r?r至于是否有唯一解还是有无穷多解还要把增广矩阵的秩与未知数的个数，由题设r?m?n，故有无穷多解也是对
7、的。2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档对于这是书上定理AX?O只有零矩阵解的充要条件是A是列满矩阵的变形BA?O?AB?O这里A是列满秩,故也是对的。对于要了解形如AA的是一个非常重要的矩阵，你必须知道这两个结TT论一是AA是一个对称半正定的矩阵，二T是r?r。用第二个结论立即知AA可逆的充要条件是A是列满秩。这样就是对的。另外：对于Am?nBn?m型的矩阵，如果m?n，一定有Am?nBn?m?0果是方阵的话）◆3．设A为n阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，则交换A的第１列与第２列得B交换A的
8、第１行与第２行得B交换A的第１列与第２列得?B交换A的第１行与第２行得?B对于此类题你不仅要熟悉伴随矩阵的运算还要熟悉初等矩阵的性质。交换A和第1行和
