线性代数的题目分析.ppt

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1、线性代数7123465第一节矩阵矩阵的概念矩阵的线性运算乘法矩阵多项式转置分块矩阵分块对角矩阵矩阵的初等变换阶梯形矩阵与最简矩阵矩阵的等价与标准形第二节行列式余子式与代数余子式行列式的性质行列式的计算行列式的定义矩阵乘积的行列式第三节逆方阵与矩阵的秩逆矩阵的概念初等矩阵矩阵的秩伴随矩阵矩阵可逆的条件矩阵的分块求逆求逆矩阵的初等变换法矩阵的子式矩阵秩的求法矩阵秩的性质第四节解线性方程组线性方程组的解消元法克莱姆法则矩阵方程有解的条件第五节向量组的线性相关性向量向量组的线性相关性向量组的秩向量组的线性表示向量组的等价极大无关组第六节线性方程组解的结构引言一般线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结

2、构第七节方阵的特征值方阵的特征值与特征向量相似矩阵矩阵的相似对角化称为一个矩阵，记作A，，或。数aij称为矩阵第i行第j列的元素，简称为(i,j)元。元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为或。矩阵的概念定义由mn个数排成的m行n列（横的称为行，竖的称为列，下同）的矩形表主对角线n行n列的矩阵次对角线上三角矩阵下三角矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。对角矩阵单位矩阵的方程组，代表n个未知量，称为方程组的系数，称为常数项。m未必等于n。(1.1)称为(1.1)的增广矩阵。例1一般线性方程组是指形式为定义行数和列数分别相等的几个矩阵称为同型矩阵。设及是两个同型矩阵，如果它们所有相应位置上的元素都相等，即对均成

3、立，则称这两个矩阵相等，记为。这就是说，只有完全一样的矩阵才叫相等。例如，若则定义设及是两个矩阵，如果对一切都有，则称矩阵为A与B的和，记为。矩阵称为矩阵的负矩阵，记为。矩阵的减法定义为：。矩阵的线性运算例2设则定义矩阵称为矩阵与数k的数量乘积，简称为数乘，记为kA。矩阵的加（减）法和数乘统称为矩阵的线性运算。不难验证，矩阵的线性运算适合以下规律：其中A、B、C、O是矩阵，k、l是数。称为矩阵A与B的乘积，记为。定义设，。那么矩阵，乘法其中例3设那么其中称为方程组的系数矩阵，而例4方程组(1.1)可以写成矩阵的等式分别是未知量和常数项所成的和矩阵。则矩阵的乘法不适合交换律，这是由于⑴当AB有

4、意义时，B的列数不一定等于A行数，从而BA不一定有意义。⑵即使AB与BA都有意义，它们的阶数也不一定相等。如在例3中，AB是3阶方阵，而BA是4阶方阵。⑶即使A、B是同阶方阵，这时，AB与BA都有意义且阶数相同，它们也不一定相等，例如，取这里我们看到，两个不为零的矩阵的乘积可以是零。由此还可以得出矩阵乘法的消去律不成立。即当且时不一定有。矩阵的乘法适合以下规律（证明从略）：第一、二式是两条不同的规律。任意给定k个矩阵，只要前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，就可以把它们依次相乘。由于矩阵乘法满足结合律，作这样的乘积时，可以把因子任意结合，而乘积有完全确定的意义。特别地，一个n阶方阵A的k次

5、方（k是正整数）有意义：我们再约定，这样一来，一个n阶方阵的任意非负整数次方有意义。设是x的一个m次多项式，而A是一个n阶方阵，那么有确定的意义，它仍是一个n阶方阵，我们称它为矩阵多项式，记作：。如果也是x的一个多项式，令,那么由矩阵的运算规律容易得出。矩阵多项式这样，对于每一个单变量多项式的因式分解式，都相应地有一个矩阵多项式的因式分解式。比如，由可得对于对角矩阵易知其中k是非负整数。于是称为A的转置矩阵，记为AT或。把A的行变为列所得到的矩阵转置定义设矩阵矩阵的转置适合以下规律（证明从略）：例5设，，于是，但因为得知是对称的。又因为知是反对称的。设A是一个方阵，如果，则称A是对称矩阵；如

6、果，则称A是反对称矩阵。例6证明任何方阵都能表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。证设A是任一方阵，则分块矩阵是矩阵概念的一种扩展。设A是一个矩阵，在它的行与行或列与列之间加上一些贯穿整个矩阵的直线，就把这个矩阵分成了若干小块。例如，可以把矩阵分成如下的四块：分块矩阵这种被分成若干小块的矩阵称为分块矩阵。在一个分块矩阵里，每一小块也可以看成一个矩阵，称为子矩阵。例如，记则可以把A简单地写成其中A11,A12,A21,A22都是A的子矩阵。一个矩阵可以有多种不同的分块方法。例如，我们也可以把上面的矩阵A分成六块：矩阵分块的目的是为了方便大矩阵的运算，因此按哪种方法分块要考虑两个因素，一是在运算中可

7、以把子矩阵当作矩阵的元素一样来处理；二是尽量使运算简单方便。下面看一个例子。在矩阵中，在矩阵中，E2表示2阶单位矩阵，而。在计算AB时，把A，B都看成是由这些小矩阵组成的，即按2阶矩阵来运算。于是其中因之不难验证，直接按矩阵乘积的定义来做，结果是一样的。一般地，设，，把A，B分成一些小矩阵（A的列的分法要与B的行的分法一致）：这样就有，其中分块矩阵的转置：设那么的矩阵，其中Ai是ni阶方阵，称为分块对角矩阵或