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1、太原理工大学《线性代数》练习册（二）一.判断题（正确打√，错误打×）1若不能由线性表示，则线性无关.(×)解答：反例：取，，则不能由线性表示，但线性相关.2.如果可由唯一线性表示,则线性无关.(√)解答：向量能由向量组唯一线性表示的充分必要条件是；所以，所以线性无关.3.向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数.(×)解答：正确结论：向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数.4.若向量组只有一个极大无关组，则线性无关.(×)解答：反例：取，则向量组只有一个极大无关组，但线性相关.正确命题：若线性无关，则只有一个极大无关
2、组.二.单项选择题1.设向量组（1）:与向量组（2）:等价，则(A).（A）向量组（1）线性相关;（B）向量组（2）线性无关;（C）向量组（1）线性无关;（D）向量组（2）线性相关.第10页太原理工大学《线性代数》练习册（二）解答：因为等价的向量组具有相同的秩，所以，所以向量组（1）线性相关.2.3维向量组中任意3个向量都线性无关，则向量组中（A）（A）每一个向量都能由其余三个向量线性表示;（B）只有一个向量能由其余三个向量线性表示;（C）只有一个向量不能由其余三个向量线性表示;（D）每一个向量都不能能由其余三个向量线性表
3、示.解答：因为4个3维向量线性相关，所以线性相关，而中任意3个向量都线性无关，所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示.所以选（A）3.设维向量组线性无关，则(B).（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关;（B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关;（C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关;（D）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关.解答：根据“全体无关则部分无关”知选项（B）正确.注意（D），“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是原来的接长向量组，所以不能保证还线性无关.第10页太原理工大学《线性代数》
4、练习册（二）例如线性无关，但线性相关.4.下列命题错误的是（）（A）若维向量组中没有一个向量能有其余向量线性表示，则该向量组线性无关；（B）若维向量组的秩小于，则此向量组线性相关；（C）若维向量组线性无关，也线性无关，则向量组，的秩为；（D）任何一组不全为零的数使，则向量组线性无关.解答：选项（C）错误.反例：设线性无关，则线性无关，但线性相关，它的秩=11+1.5.已知向量组线性无关,则下面线性无关的向量组是(C).(A);(B);(C);(D).解答：(A):;(B)；第10页太原理工大学《线性代数》练习册（二）(C)
5、：；(D).三.填空题1.设维向量线性无关，则向量组的秩2.解答：因为,所以线性相关,(或者因为,所以线性相关)但线性无关,所以.(设则,因为线性无关,所以,所以线性无关.)2.已知,若由生成的向量空间的维数为2,则6.解答：因为由生成的向量空间的维数为2,而线性无关,所以可由唯一线性表示,所以,即第10页太原理工大学《线性代数》练习册（二）,解得.3.设向量组线性无关，向量不能由它们线性表示，则向量组，的秩=.解答：因为线性无关，向量不能由它们线性表示，所以，线性无关，所以秩=.4.若向量组与向量组不等价，则常数.解答：
6、如果线性无关，则两个向量组等价，所以应该是线性相关，所以.5.已知向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量组的极大无关组为.解答：因为线性无关，所以线性无关，而线性相关，所以向量组的极大无关组为.四.判断下列向量组的线性相关性，并说明理由.第10页太原理工大学《线性代数》练习册（二）1．,,；解答：因为线性相关，所以线性相关.2．,,,；解答：三个四维向量一定线性相关.3．,,；解答：因为，所以线性无关.4．，,.解答：因为，,线性无关，所以，,线性无关.五．计算题1.设，问：（1）为何值时，向量组线性无关；（2）为何值时
7、，向量组线性相关，当线性相关时，将表示为的线性组合.解答：（1）向量组线性无关当且仅当，所以；（2）向量组线性相关当且仅当，即，第10页太原理工大学《线性代数》练习册（二）设，所以，解得，即.1.设线性无关，问常数满足什么条件时，线性相关.解答：设，即，因为线性无关，所以，当时，，当时，由知，所以线性相关当且仅当.六．证明题1.设向量组中任意向量都不能由线性表示，且，证明线性无关.证明因为，不能由线性表示，所以也不能由线性表示（如果，则，所以能由线性表示，矛盾），所以线性无关，而不能由线性表示，所以线性无关，以此类推，由于
8、有限，所以线性无关.第10页太原理工大学《线性代数》练习册（二）2.已知向量组（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）如果，，证明向量组的秩为4.证明因为，所以线性无关，所以线性无关，且不能由线性表示，而，所以可由线性表示，所以不能由线性表示，所以的秩为4.3．已知,证明向量组与等价.证明：因为，所以可由线性表示，又因为
