文科数学第四章第五节

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1、第五节　数系的扩充、复数的概念与四则运算第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入考纲要求1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.课前自修知识梳理一、复数的有关概念1．形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i是虚数单位，i2＝－1.把复数a＋bi的形式叫做复数的代数形式，记作z＝a＋bi(a，b∈R)．当且仅当b＝0时，z为实数；当且仅当a＝b＝0时，z＝0；当b≠0时，z叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z叫做纯虚数；a和b分别叫做复

2、数z＝a＋bi的实部和虚部．2．两个复数相等：如果a，b，c，d∈R，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.3．两个复数，如果不全是实数时，不能比较它们的大小．7．复数的代数形式的几何意义：四、复数运算所满足的运算律1．加法交换律：z1＋z2＝z2＋z1.2．加法结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3．乘法运算律：(1)z1(z2z3)＝(z1z2)z3;(2)z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3；(3)(z1＋z2)z3＝z1z3＋z2z3.基础自测1．(2012·湛江市二模)复数3等于()A．8B．－8C．8iD．－8i解析：3＝(i＋i

3、)3＝(2i)3＝－8i.故选D.答案：D3．(2012·荆州市质检)设i为虚数单位，则1－i＋i2－i3＋i4－…＋i20＝________.解析：根据in(n∈N*)的周期性知，－i＋i2－i3＋i4＝－i5＋i6－i7＋i8＝…＝0，∴1－i＋i2－i3＋i4－…＋i20＝1.答案：14．(2012·南京市、盐城市一模)若(1－2i)i＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝________.解析：由(1－2)i＝i－2i2＝2＋i＝a＋bi，根据复数相等的条件可得a＝2，b＝1，∴ab＝2.答案：2考点探究考点一复数的四则运算(2)(2011·广

4、州市一模)已知i为虚数单位，若复数z1＝1－i，z2＝2＋i，则z1z2＝()A．3－iB．2－2iC．1＋iD．2＋2i(3)(2012·广东执信中学测试)复数2＋i2011＝()A．2＋iB．－1C．2－iD．3变式探究1．(1)(2012·安徽卷)复数z满足(z－i)(2－i)＝5，则z＝()A．－2－2iB．－2＋2iC．2－2iD．2＋2i(2)(2012·天津卷)i是虚数单位，复数＝()A．2＋iB．2－iC．－2＋iD．－2－i(3)(2012·山东卷)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()A．3＋5iB．3－5iC．－3

5、＋5iD．－3－5i(4)(2012·福州市模拟)2012＝()A．2iB．－1＋iC．1＋iD．1考点二复数与复平面内点的对应关系【例2】在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是()A.(0,3)B.(－∞，－2)C.(－2，0)D.(3，4)思路点拨：根据复数的几何意义，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点位于复平面的第二象限时，必须a<0，b>0.解析：∵z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，z所对应的点在第二象限，∴m2－4m<0且m2－m－6>0.∴03或m<－2.∴m∈(3,4)

6、．故选D.答案：D变式探究2．(2012·肇庆市一模)若复数z＝(x－5)＋(3－x)i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数x的取值范围是()A．(－∞，5)B．(3，＋∞)C．(3,5)D．(5，＋∞)考点三复数概念的理解与应用【例3】已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R？(2)z为纯虚数？(3)z对应的点位于复平面第二象限？(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上？思路点拨：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z为实数；当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；当a<0，b>0时，z对应的点位于复平面的第二象限；复数对应

7、的点在直线上，则该点的坐标是直线方程的解．点评：复数z＝a＋bi表示实数、虚数、纯虚数的充要条件是本章的重点．完整、准确地理解好这一知识点是解题的关键．复数与点及向量的对应关系，体现了数形结合这一重要的数学思想．灵活地运用数形结合思想能很好地帮助我们解决问题．变式探究3．(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z＝的四个命题：p1：

8、z

9、＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4考点四对复数集下的概念与运算的理解点评：在解答复数相关问题时，不要随意把实数的性

10、质、法则搬到复数集上来．