文科数学第四章第一节

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1、第一节　向量与向量的线性运算第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入考纲要求1．平面向量的实际背景及基本概念．(1)了解向量的实际背景．(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．(3)理解向量的几何表示．2．向量的线性运算．(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．(2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义．(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.课前自修知识梳理一、平面向量的概念1．平面向量．平面内既有大小又有方向的量叫做向量．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．2．零向量．长度为零的向量叫做零向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平

2、行．零向量a＝0⇔

3、a

4、＝0.由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件(注意“0”与“0”的区别)．3．单位向量．模为1个单位长度的向量叫做单位向量．向量a0为单位向量⇔

5、a0

6、＝1.4．平行向量(共线向量)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作a∥b.由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量．数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，这里必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中

7、的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．5．相等向量．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．相等向量经过平移后总可以重合，记为a＝b.2．向量的减法．(1)相反向量：与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作－a.零向量的相反向量仍是零向量．关于相反向量有：①－(－a)＝a；②a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；③若a，b是互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.(2)向量的减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法．(3)作图法：a－b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a，b有共同起点)．3．向量加

8、、减法的“三角形法则”与“平行四边形法则”．(1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量．(2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和，差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．4．实数与向量的积．(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：①

9、λa

10、=

11、λ

12、

13、a

14、；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<

15、0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向是任意的．(2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律．三、两个向量共线定理向量b与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b＝λa.基础自测1．(2012·惠州市调研)已知向量a，b，则“a∥b”是“a＋b＝0”的________条件()A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要解析：“a∥b”只要求两向量共线，而“a＋b＝0”要求反向共线且模相等．故选B.答案：B3．(2011·上海市黄浦区二模)已知e1，e2是平面上两个不共线的向量，向量a＝2e1－e2，b＝me1＋3e2，若a∥b，则实数m＝_____

16、_____.－6考点探究考点一向量有关概念、结论的正误判断【例1】给出下列命题：①若

17、a

18、＝

19、b

20、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

21、a

22、＝

23、b

24、且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的序号是________．点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，正确理解向量的有关概念．另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．变式探究1．给出下列命题：①时间、速度、加速度都是向量；②向量的模是一个正实

25、数；③所有的单位向量都相等；④共线向量一定在同一直线上．其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：由向量、向量的模、共线向量的含义知①中时间不是向量；②中模可为零；③中单位向量方向不同则不等；④中共线向量可以平行，不一定在同一直线上．故①②③④均不对．故选A.答案：A考点二平面向量的线性运算点评：在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，根据向量的几何加减法则即平行四边形法则和三角形法则，能对图形中的向量进行互相表示，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．