文科数学 第十章 第一节

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1、第一节　相似三角形的判定及其有关性质第十章　选考部分课前自修知识梳理一、相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．两角对应相等的两个三角形相似．3．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．4．三边对应成比例的两三角形相似．直角三角形相似的判定：(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．(2)如果两个直角三角形的两条直角

2、边对应成比例，那么它们相似．(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．三、相似三角形的性质1．相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．2．相似三角形周长的比等于相似比．3．相似三角形面积的比等于相似比的平方．4．相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．四、有关比例的几个重要定理1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角

3、形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一边．2．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．3．直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．基础自测1．如图，在△ABC中

4、，∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为______________．2．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A＝________.解析：由题意知，BC＝EC，在Rt△ACB中，E是斜边AB的中点，∴EC＝EB＝EA，∴EC＝EB＝BC.∴△ECB为正三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°.答案：30°3．(2011·长沙市模拟)如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，则＝_____.答案：4．如图，在四边形

5、ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则＝________.答案：1考点探究考点一平行线分线段成比例定理的运用【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.(1)求证：OE＝OF；(2)求的值；(3)求证：思路点拨：根据平行线分线段成比例定理，借助中间比例式进行转换，即可得出结果．点评：(1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创

6、造可以形成比例式的条件，达到证明的目的．变式探究1．如图所示，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，则＝________.解析：过点D作DG∥BF交AC于点G.∵点D是BC中点，∴DG是△CBF的中位线．∴FG＝CG.同理可证AF＝FG.∴AF＝AC.答案：考点二三角形内(外)角平分线的性质【例2】证明：三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．思路点拨：原题可化为：已知，如图，AD是△ABC的角平分线，求证：要证比例式，可以考虑利用平行线，于是可以过点C作C

7、E∥DA，与BA的延长线交于点E，这样就能用平行线截割定理．证明：过点C作CE∥DA，与BA的延长线交于点E.∵CE∥DA，∴∠AEC＝∠BAD，∠DAC＝∠ACE.又∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠ACE＝∠AEC.∴AC＝AE.由平行线截割定理知：，∴点评：在几何证明中，如果题目给的条件较为分散，可以通过添加辅助线，使分散的条件适当集中．如果能熟练掌握几个基本图形，把所要证明的图形转化为基本图形，可使证明思路更明确，更快捷．变式探究2.如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的外角的平分线．求证：

8、AB∶AC＝BD∶DC.证明：如图，过点D作DE∥CA，与BA的延长线交于点E.∵DE∥CA，∴∠DAC＝∠ADE.又∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠EAD＝∠DAC.∴∠ADE＝∠EAD.∴DE＝AE.考点三相似三角形的判定和性质【例3】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，点E，F分别是AB，BC