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1、第二节 平面向量的分解及向量的坐标表示第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入考纲要求1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.课前自修知识梳理一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，称λ1e1＋λ2e2为e1，e2的线性组合．二、平面向量的坐标表示在直角坐标系
2、中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．三、平面向量的坐标运算1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．2．若A(x1，y1)，B(x2
3、，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).3．若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)．四、向量的运算向量的加减法、数与向量的乘积及其各运算的坐标表示和性质，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2．三角形法则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，向量的减法三角形法则a－b＝(x1－x2，y1－y2)a－b＝a＋(－b)，数乘向量法λa是一个向量．满足：λ>0时，λa与a同向；λ<0时，λa与a异向；λ＝0时，λa＝0λa＝(λx，λy)λ(μ
4、a)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，a∥b⇔a＝λb(b≠0)基础自测A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)3．(2012·深圳市松岗中学模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(x，－6)共线，则x＝______________.解析：依题意有3x－2×(－6)＝0，得x＝－4.答案：－44．(2011·漳州市模拟)已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0)，则
5、a＋b
6、＝__________.解析：∵a＋b＝(－1，)，∴
7、a＋b
8、＝＝2.答案：2考点探究考点一平面向量基本定理的应用变式探究考
9、点二平面向量坐标的基本运算变式探究A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)考点三利用向量相等求点的坐标【例3】已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．变式探究3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝()A．(4,6)B．(－4，－6)C．(4，－6)D．(－4,6)考点四共线向量的坐标运算【例4】平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，请解答下列问题：(
10、1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且
11、d－c
12、＝，求d.点评：运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机地结合．变式探究4．(2012·北京市东城区示范校综合练习)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于()A．－2B．2C．－D.课时升华1．平面内任一向量a都可以分解成a＝λ1e1＋λ2e2(其中e1，e2是平面内两个不共线向量)的形式，且分解式是唯一的．平面向量基本定理是平面向量正交分解的理论依据．若向量a与两
13、个不共线向量e1，e2共面⇔存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，可使向量运算代数化，将数和形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算．3．向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．4．向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题．因此解题过程中应注意运用数形结合的思想方法.感悟高考品味高考高考预测1．(2011·北京市西城区一模)设向量a＝(1，sinθ)，b＝(3sinθ，1)，且a∥b，则cos2θ等于()A．－B．－
14、C.D.2．(2011·安徽百校论坛联考)已知a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则
15、2a＋3b
16、等
