文科数学第五章第二节.ppt

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1、第二节　等差数列及其前n项和第五章　数列考纲要求1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系.课前自修知识梳理一、等差数列的概念1．定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这样的数列叫做等差数列，记作数列，首项记作a1，公差记作d.2．符号表示：an＋1－an＝d(n∈N*)．二、通项公式若数列为等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.三、前n项和公式Sn＝＝na1＋.四、等差中项如果三数a

2、，A，b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，即A＝.五、等差数列的判定方法1．定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔是等差数列．2．中项公式法:2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔是等差数列．3．通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)(n∈N*)⇔是等差数列．4．前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)(n∈N*)⇔是等差数列．六、用函数观点认识等差数列1．an＝dn＋a1－d，d≠0时是关于n的一次函数．2．Sn＝n2＋，d≠0时是关于n的常数项为零的二次函数．七、等差数列的重要性质1．在等差数列中，若p＋q＝m＋n，，则有ap＋a

3、q＝am＋an；若2m＝p＋q，则有2am＝ap＋aq(p，q，m，n∈N*，简称为下标和性质)．2．在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等差数列，公差为kd.3．若数列是等差数列，Sn是其前n项的和，k∈N*，那么Sk，S2k－Sk，S3k－S2k也成等差数列，公差为k2d.基础自测1．(2012·重庆卷)在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5则{an}的前5项和S5＝()A．7B．15C．20D．25解析：∵a2＝1，a4＝5，∴a1＋a5＝a2＋a4＝6.∴数列的前5项和为S5＝＝＝×6＝15.故

4、选B.答案：B2．(2012·大连、沈阳联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a4是方程x2－x－2＝0的两个实数根，则S5的值是()A.B．5C．－D．－5解析：因为a2＋a4＝1，所以S5＝＝＝.故选A.答案：A3．(2012·湖南师大附中模拟)各项不为零的等差数列{an}中，2a3－＋2a11＝0，则a7的值为________．解析：由2a3－＋2a11＝0，得2(a3＋a11)－＝0⇒4a7－＝0，a7(4－a7)＝0，∵a7≠0，∴a7＝4.答案：44．(2012·南京市二模)设Sn是等差数列{an}的前n项和．若＝，则＝________.考

5、点探究考点一等差数列基本量的计算【例1】(2011·福建卷)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．思路点拨：先运用等差数列的通项公式求出公差，进而求得通项公式及前n项和公式，再将n用k代换，得到关于k的方程，解方程即可求得项数k.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.由Sk＝－35可

6、得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7为所求．点评：解决等差数列的问题时，通常考虑两类方法：(1)基本量法，即运用条件转化成关于a1和d的方程；(2)巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简．变式探究1．(1)(2012·唐山市三模)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S7＝21，S11＝121，则该数列的公差d＝()A．5B．4C．3D．2(2)(2012·江西卷)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.解析：(1)依题意有7a1＋21d＝21,11a

7、1＋55d＝121，解得a1＝－9，d＝4.故选B.(2)设数列{an}，{bn}的公差分别为d，b，则由a3＋b3＝21，得a1＋b1＋2(b＋d)＝21，即2(b＋d)＝21－7＝14，∴b＋d＝7.∴a5＋b5＝a1＋b1＋4(b＋d)＝7＋4×7＝35.答案：(1)B(2)35考点二等差数列性质的运用【例2】(1)(2011·富阳市模拟)在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为________．(2)(2011·广州市一模)已知数列{an}是等差数列，若a4＋2a6＋a8＝12，则该数列前11项的和为___

8、_____