文科数学第五章第五节

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1、第五节　数列的求和第五章　数列考纲要求掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法，并能灵活地运用这些方法解决相应问题.课前自修知识梳理二、错位相减法求和例如是等差数列，是等比数列，求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和就适用此法．做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q，然后将两式相减，相减后以“qn”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉)．三、分组求和把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求

2、和．四、并项求和例如求1002－992＋982－972＋…＋22－12的和可用此法．七、倒序相加法求和如果一个数列{an}首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和就是用此法推导的．八、其他方法求和如归纳猜想法，奇偶分拆法等．基础自测1．(2012·南阳一中考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．36D．27解析：由等差数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴9,36－9，S9－36成等差数，即54＝9＋S9－36.∴S9＝81.

3、∴a7＋a8＋a9＝81－36＝45.故选B.答案：B2．(2012·福州市模拟)在数列{an}中，如果存在非零的常数T，使得an＋T＝an对于任意正整数n均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．已知数列{xn}满足xn＋2＝

4、xn＋1－xn

5、(x∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，当数列{xn}的周期为3时，则数列{xn}的前2012项的和S2012为()A．670B．1338C．1339D．1342答案：D3．(2012·山西四校联考)等差数列{an}中，a3＝8，a7＝20，若数列的前n项和为，则n的值为____________．4．

6、(2011·巢湖市模拟)如图所示，一条螺旋线是用以下方法画成：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3分别以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线．旋转一圈．然后又以A为圆心AA3为半径画弧……这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln＝_______(用π表示即可).考点探究考点一分组后，可用公式求和︸n个1思路点拨：通过分组，直接用公式求和．k个1点评：运用等比数列前n项和公式时，要注意按公比q＝1或q≠1进行讨论．变式探究1．(2012·北京市朝阳区期中)在递增数列{an}中，Sn表示数列{an}的前n项和，a1＝1，a

7、n＋1＝an＋c(c为常数，n∈N*)，且a1，a2，S3成等比数列．(1)求c的值；(2)若bn＋an＝，n∈N*，求b2＋b4＋…＋b2n.解析：(1)∵an＋1＝an＋c，a1＝1，c为常数，∴an＝1＋(n－1)c，则a2＝1＋c，S3＝1＋(1＋c)＋(1＋2c)＝3＋3c.又a1，a2，S3成等比数列，所以(1＋c)2＝3＋3c，解得c＝－1或c＝2.由于{an}是递增数列，舍去c＝－1，故c＝2.考点二错位相减法求和【例2】已知数列1,3a,5a2，…，(2n－1)an－1(a≠0)，求其前n项和．思路点拨：已知数列各项是等差数列1,3,5，…，2n－1与等比数列a0，

8、a，a2，…，an－1对应项的积，可用错位相减法求和．解析：设Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－1)an－1，①①×a，得aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an，②①－②，(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，当a≠1时，点评：若数列{an}，{bn}分别是等差、等比数列，则求数列{anbn}的前n项和的方法就用错位相减法．变式探究2．(2012·武汉市武昌区调研改编)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n(n∈N*)．(1)设bn＝，证明：数列{bn}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an

9、}的前n项和Sn.考点三裂项相消法求和变式探究3．(2012·安徽江南十校联考)在等比数列{an}中，a1>0(n∈N*)，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中项为16.(1)求数列{an}的通项公式．(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前项和为Sn，是否存在正整数k，使得＋＋＋…＋