复变函数论第2章第1节

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1、解析函数是复变函数的主要研究对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用.本章研究复变函数的微分法.第二章解析函数本章在介绍复变函数导数概念的基础上，着重介绍解析函数的概念及其判别法.然后将实变初等函数推广到复变函数中，并讨论它们的性质.§1解析函数的概念与柯西—黎曼方程1复变函数的导数与微分2解析函数及其简单性质3柯西—黎曼方程(简称C-R方程)定义2.11复变函数的导数与微分说明：复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.特别地,可导与连续:函数f(z)在z处可导,则在z处一定连续;反之，函数f(z)在z处连续不一定在z处可导.例1例2求导法则:由于复变

2、函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.定义2.22解析函数及其简单性质定义2.3数学分析中有关求导法则可推广到复变函数中：由此可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.3柯西—黎曼方程(简称C-R方程)从而，有下述定理定理2.1定理2.1中的条件(1)(2)是函数可微的必要注意：条件,但非充分条件.若对定理2.1中的条件(1)适当加强，即得如下定理定理2.2由数学分析知，二元函数的可微性可通过其偏导数的连续性来实现，即

3、有定理2.3定理2.4定理2.5定理2.3的推广解析函数的判定方法:例3解：例4解：注：上述两例中的函数只在某些孤立点或在直线上可微，各点都未形成由可微点构成的邻域，故函数在其上不解析，从而在z平面上处处不解析.例5例6证:根据隐函数求导法则,例7解例8解练习答案证例9参照以上例题可进一步证明:作业：P903、5(2)(4)、6(2)(3)、7.