复变函数论第6章

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1、第六章留数理论及其应用§1留数以及留数定理§2用留数定理计算实积分§6.1留数1、留数定义3、留数的求法4、小结与思考2、留数定理设函数f(z)在区域0<

2、z-z0

3、

4、0)与圆C的半径r无关：事实上，在0<

5、z-z0

6、

7、解2.具体计算一定要注意前面的系数证明：以D内每一个孤立奇点zk为心，作圆Ck，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从D中除去以这些Ck为边界的闭圆盘的一个区域G，其边界是C以及Ck，在G及其边界所组成的闭区域上，f(z)解析。因此根据柯西定理，留数定理的证明3.留数的求法一般规则规则1：如果a为f(z)的可去奇点,成洛朗级数求规则2：如果a为f(z)的本性奇点，展开则需将首先将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数，然后利用此公式求留数，特别是当a为本性奇点时，一般只能利用此法例1解由于例2解由于例3求:规

8、则3：如果a为f(z)的极点,则有如下计算规则其中(z)(由定理5.4)在点a解析,(z)≠0,则:定理1.2:设a为f(z)的n级极点,i.e.这里符号(0)(a)=(a),且有证明：推论1.3:设a为f(z)的一级极点,则推论1.4:设a为f(z)的二级极点,则例4解定理1.5证明例5函数因此有两个一阶极点，这时例6函数在z=0有三阶极点，则因此由上述公式也可得：例7解例8函数在z=i有二阶极点。这时令z=i+t，那么在的泰勒展式中，t的系数就是f(z)在i的留数。写出h(t)中每个因子的到t的一次项，我们有：当

9、t

10、<1时因此当

11、t

12、<1

13、时，于是由上述公式也可得：计算积分例题例1例2例3§6.2用留数定理计算实积分3、积分的计算III1.积分的计算I2.积分的计算II（2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；（3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。利用留数计算积分的特点：（1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积分区域的转化2

14、)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条方法：表示,的有理函数,并且在上连续.这里当历经变程时,的正方向绕行一周.z沿单位圆周z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.注:例1计算积分解则由留数定理例2计算解由留数定理引理2.10xRSR定理2.2解例1例2设a>0，计算积分解：这里共有四个一阶极点为±ai,±bi,其中只有ai,bi,在上半平面内解例3引理3.1xy..定理3.2则有注:将上式分开实虚部,就可得到形如的积分.例1.计算积分解:而故先计算下列积分例2计算积分解：例3计算积分解且在上半

15、平面只有二级极点注意以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴上无孤立奇点.作业