复变函数论文

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1、姓名:学号:系别:班级:序号:完成时间:2011.12.10复变函数论文冼康富201039488141电气工程系10级电气5班461•引言复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根屮就出现了负数开平方的情况。复数的一般形式是：a+bi,其中i是虚数单位。复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，N次多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算捉供了很大的帮助。2•理论内容虚数这个概念，最初是为了解决一元三次方程的求根问题而引入的。深入的看，复数域是实数域的扩域。复数把数从一维

2、（直线）扩充到了二维（平面）。利用复数来解决实际问题，很多问题都可以得到简化。以复数为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论则称为复变函数论。复变函数研究的中心对象是所谓解析函数。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲而理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。解析函数是区域上处处可微分的复函数。17世纪，欧拉和达朗贝尔在研究水力学时已发现平血不可压缩流体的无旋场的势函数①（x,y）与流函数屮（x,y）冇连续的偏导数，且满足微分方程组，并指出f（z）=0）（X,y）+i屮（x,y）是

3、可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后來，就把上述的偏微分方程组称为柯西■黎曼方程，或柯西■黎曼条件。复变函数论中用儿何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做儿何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方血都得到了广泛的应用。留数理论是复

4、变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，口J以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要,这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基木性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。2•复变

5、函数论一分支学科算术、初等代数、高等代数、数论、欧式儿何、非欧儿何、解析儿何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学。3•国内外有关的研究发展及应用复数的概念源于求解方程组的根。早在16世纪中叶，意大利卡尔丹在1545年解三次方程时，首先产生复数开平方的思想。17世纪到18世纪，复数开始有了儿何解释，把它与平面向量对应起来解决实际问题。复变函数论产生于18世纪,由

6、欧拉作出。复变函数论的全面发展在19世纪。到了20世纪，复变函数被广泛应用于理论物理，弹性物理，天体力学等方面。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方而的问题上也做出了贡献。同时，复变函数是我国数学工作者从事研究最早也是最有成效的数学分支之一。我国老一辈的数学家在单复变函数及多复变函数方面的研究成果，均已达到当吋的国际水平。复变函数从柯西算起，历经170多年的磨练。并且以其完美的理论和精湛的技巧成为数学屮一个不可缺少的重要组成部

7、分。它不仅曾经推动过其他淫科，比如物理学中的流体力学，稳定平面长，航空力学等学科的发展，而口在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。复变函数论已经深入到微积分方程，数论等学科，对它们的发展很冇影响。现如今，复变函数论中仍冇不少尚待研究的课题，它将在更多数学家们的不懈努力卜，继续向前发展，并将取得更多应用。4•结束语“代数学的主要任务就是对这个问题给出尽可能多的答案。通过引入虚数，那些'没有意义”的根式就根本不成英为一个问题。可是在丿力史上虚数的存在性及它的意义曾经引起一场激烈的论战。虚数被讥笑为缕攵的鬼魂

8、'，一些象笛卡尔这样的大数学也拒绝承认它。这场争论一直要到一八零零年左右几何解释虚数成功后才慢慢平静下來。对实用主义者而言，虚数当然是一个计算的工具，只要它有用就行了，但对于严肃的数学家來说却并非如此。高斯就曾经说过，关键不在于应用，而在于如果歧视这些虚量，整个分析学就会失去大量的美和灵活性。为什么认为“歧视虚数''就不美呢？我想这是由于数学中第二个关于美的法则在起作用：对称性法则。当我们把虚数和实数认为是同样真实，只是分别属