复变函数论总结

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1、1复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数complexfunction第二章复变函数的积分complexfunctionintegral第三章幂级数展开powerseriesexpansi

2、on第四章留数定理residualtheorem第五章傅立叶变换Fourierintegraltransformation第一章复变函数§1.1复数及复数的运算§1.2复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ.（ｘ，ｙ）ｒ2ｘ实轴模幅角(ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下

3、，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。§1.2复变函数(一)复变函数

4、的定义若在复数平面上存在一个点集Ｅ,对于Ｅ的每一点，按照一定的规律，有一个或多个复数值与之相对应，则称的函数—复变函数，ｚ称为的宗量，定义域为Ｅ，记作，ｚＥ(二)区域的概念3领域：以复数ｚ为圆心，以任意小正数为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为ｚ的领域内点：若ｚ及其领域均属于点集Ｅ，则称ｚ为该点集的内点外点：若ｚ及其领域均不属于点集Ｅ，则称ｚ为该点集的外点境界点：若在ｚ的每个领域内，既有属于Ｅ的点，也有不属于Ｅ的点，则称ｚ为该点集的境界点，它既不是Ｅ的内点，也不是Ｅ的外点，境界点的全体成为境界线区域是指满足下列两个条件的点

5、集1.全由内点组成2.具有连通性，即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全部属于改点集闭区域：区域及其境界线所组成的点集(三)复变函数例周期为周期为周期为（ｓ为复数)周期为注意：复变函数在点连续的定义是：当ｚ时，§1.3导数(一)导数的定义设函数是在区域Ｂ上定义的单值函数，即对于Ｂ上的每一个ｚ值，有且只有一个值与之相对应，若在Ｂ上的基点ｚ，极限存在，并且与的方式无关，则称函数点可导，复变函数的导数定义，形式上跟实变函数的导数定义一样。现在让我们比较沿平行于实轴方向逼近零和沿平行于虚轴方向逼近零的两种情形1

6、.先看沿平行于实轴方向逼近零，这是而，于是2.再看沿平行于虚轴方向逼近零，这是而，于是则有，即这两个方程叫做柯西黎曼方程，是复变函数可导的必要条件(二)极坐标系中的柯西黎曼方程4§1.4解析函数(一)解析函数定义若函数在点及其领域上处处可导，则称在点解析。又若在区域Ｂ上每一点都解析，则称是区域Ｂ上的解析函数。函数在一点可导与解析是不等价的，但函数若在某一区域Ｂ上解析，意味着函数在区域Ｂ上处处可导，因此函数在某区域上可导与解析是等价的(二)解析函数性质1.若函数在区域Ｂ上解析，则ｕ（ｘ，ｙ)，ｖ（ｘ，ｙ)是Ｂ上的两组正交曲线

7、族2.若函数在区域Ｂ上解析，则ｕ，ｖ均为Ｂ上的调和函数，即(三)求解析函数的方法1.曲线积分法：全微分的积分与路径无关，故可选取特殊积分路径2.凑全微分显示法3.不定积分法第二章复变函数的积分§2.1复变函数的积分§2.2柯西定理§2.3不定积分§2.4柯西公式§2.1复变函数的积分(一)复变函数路积分定义复变函数路积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是路积分的实部和虚部ｕ（ｘ，ｙ)ｄｘｖ（ｘ，ｙ)ｄｘｕ（ｘ，ｙ)ｄｙ(二)复变函数路积分性质1.常数因子可以移到积分号外2.函数的和的积分等于各个函数的积分之和3.反

8、转积分路径，积分变号4.全路径上的积分等于各段上积分之和5.积分的模小于等于模的积分注意：复变函数的积分值不仅依赖于起点和终点，还与积分路径有关5§2.2柯西定理(一)单通区域的情形所谓单通区域是这样的区域，在其中做任何简单的闭合围线，围线内的店都是属于该区域内的点单通区域柯西定理：如果函数在闭单通区域