[理学]复变函数论

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1、复变函数论By王建Email:wjmath@126.comhttp://wjmath.blog.163.com/多媒体教学课件复变函数的应用背景世界著名数学家M.Kline指出：19世纪最独特的创造是复变函数理论。象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治了19世纪。它曾被称为这个世纪的数学享受，也曾作为抽象科学中最和谐的理论。4）应用于计算绕流问题中的压力、力矩。5）应用于计算渗流问题。例如：大坝、钻井的浸润曲线。6）应用于平面热传导问题、电(磁)场强度。例如：热炉中温度的计算。最著名的例子是飞机机翼

2、剖面压力的计算。从而解决机翼的造型。7）Laurent级数应用于数字信号处理。8）积分变换也是复变函数的重要应用。9）Laplace变换可以求解微积分方程。积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换。10）Laplace变换应用于控制问题。在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比。11）Fourier变换应用于频谱分析。12）Fourier变换应用于信号处理。频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数，对各次谐波的频率、振幅、

3、相位之间的关系进行分析。随着计算机的发展，语音、图象作为信号，在频率域中的处理要方便得多。第一讲2011年2月22日第一章复数与复变函数第一节复数第二节复平面上的点集第三节复变函数第四节复球面与无穷远点第一节复数1.复数域2.复平面3.复数的模与辅角4.复数的乘幂与方根5.共轭复数6.复数在几何上的应用举例1.复数域称非空集合F为域，如果F关于加法“＋”和乘法“·”运算满足：(i)F关于加法“＋”成交换群;(ii)F{0}关于乘法“·”也成交换群;(iii)F关于加法“＋”和乘法“·”成立分配律,即ɑ(b+c)=ɑ

4、b+ɑc例如有理数全体Q和实数全体R都是域。（1）域的概念：（2）复数域概念:①复数：1835年，Hamilton给出如下定义：具有z=x+iy的形状，其中x和y是实数，i是虚数单位(i2=-1）。x和y分别称为z的实部和虚部，分别记作：②相等：z1=x1+iy1=z2=x2+iy2当且仅当x1=x2且y1=y2。③复数是实数的推广：若Imz=0，则z是一个实数；特别0=0+i0④虚数：若Imz≠0，那么称z为一个虚数；⑤纯虚数：若Imz≠0，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。（3）复数的四则运算:复数的四则运算定义

5、为：复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域(对加、减、乘、除运算封闭，零元0，单位元1），记为C，复数域可以看成实数域的扩张。2.复平面:复数域C也可以理解成平面R2，我们称C为复平面:作映射：则在复数集C与平面R2之建立了一个1-1对应（双射）。平面上横坐标轴我们称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。3.复数的模与辐角:既然复数域C可以理解成平面R2,复数z=x+iy可以看成平面中的向量(x,y)，所以也能借助于极坐标来确定，实际上复数可以等同于平面中的向量等价类（在平移关系下）。（

6、2）非零复数z与实轴之间的夹角为其辐角，定义为：（1）向量的长度称为复数的模，定义为：（3）辐角主值的定义注：z=0时，辐角无意义z在第一、四象限argz=arctany/x，z在第二象限argz=arctany/x+π，z在第三象限argz=arctany/x-π.第一、四象限第二象限第三象限虚轴正向虚轴负向（5）复数的三角表示:①非零复数的三角形式(利用直角坐标与极坐标的关系)：②指数形式(利用《数学分析》中我们讲幂级数时介绍的欧拉公式)：则z=r(cosθ+isinθ)=rei=

7、z

8、eiArgz（指数形式）

9、z=x+iy=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)=

10、z

11、(cosArgz+isinArgz)（三角表示）利用复数的三角形式和指数形式，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法，设由级数的乘法运算得到复变量指数函数的性质特殊地有则有同理，对除法，也有：其中后一个式子也应理解为集合相等。（6）乘法、除法的几何意义复数相乘就是把模相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应的向量分别为两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.(7)复数加减法的几何表示：两个复数的加减法运算

12、与相应的向量的加减法运算一致.设z1、z2是两个复数，(8)基本不等式:关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：4.复数的乘幂与方根：（1）复数的乘幂：非零复数z的正整数次幂zn利用复数的三角表示以及指数表示，我们也可以考虑复数的乘幂：（2）复数的方根：二项式方程wn=z的根的全体(n为大于2的整数）：不同的值只有n个，比如取k=0,1,2,…