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1、浅谈复变函数论王璐20091105168数学科学学院信息与计算科学专业2009级信息2班指导教师海泉摘要以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。关键词复变函数、解析函数、初等解析函数、复变函数的导数、复变函数的积分、柯西定理、复变函数就是自变量为复数的函数，复变函数论是分析学的一个分支，故又称复分析。我们研究的主耍对象，是在某种意义下可导的复变函数，通常称为解析函数。为建立这种解析函数的基础，首先引入
2、：1复数及复平1.1复数域每个复数具有z=x+的形状，其屮兀和y是实数，i是虚数单位（-1的平加）□兀和y分别称为实部和虚部，分别记作：%=Rez,y=Imz。复数和相等是指它们的实部和虚部分别相等。如果Inu=（）,则z可以看成一个实数；如果ImzHO,则z称为一个虚数；女口果ImzHO，Rez=0,则z为一个纯虚数。1.2复数的四则运算复数的四则运算定义为：(a】+ihl)±(a2+血)=(6/
3、±°2)+，(方
4、±E)(a〕+ibx)(a2+ib2)=(ata2-b}b2)+i(a}b2+a2b{)(%+ib)(a2+ih2)a}a2+b”2
5、.a2b}一a}b2aJ+/?22a22+b?2复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域（对加，减，乘，除运算封闭），记为C,复数域可以看成实数域的扩张。1.3复平面复数域C也可理解成平面RxR,我们称C为复平面。作映射：CtR，:Z=x+iy—（x,y）则在复数C与平面RxR之间建立了一个一一对应关系。平面上横坐标轴我们称为实轴，纵坐标称为虚轴；复平面一般称为平面,平面等。复数可以等同于平面中的向量等价类(在平移关系下)。向量的长度称为复数的模，定义为：
6、习十+),2。非零实轴乞间的夹角称为复数的辐角，定义为:Argz,=arctan—+2k
7、7ro复数的共辘定义为：z=x-iyoX1.4复数的三角表示非零复数的三幷表示定义为：z二忖(cosArgz+isinArgz)。1・5基本不等式关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：
8、©卜比2
9、
10、勻可+乞
11、5
12、可
13、+
14、?2kilTd-l^i一°
15、s
16、z」+
17、z2
18、Rez
19、20、lm^<
21、z
22、2=zz1.6三角表示的乘法利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法，设:Z]=k[
23、(cosArgZ]+zsinArg^j),z2=z2(cosArgz2+isinArgz2),则有z{z2=
24、Z]
25、
26、z2
27、[cos(A®
28、+Argz
29、2)+ism(Argzl+Ar^2)J,Z]Z2
30、=kilhl，Arg(ZiZ2)=ArgZ]+Argz2。最后_个式子理解为集合相等。同理对除法也有：A=H[cos(ArgZ]-Argz^+isin^ArgZi-Argzj],SF2I_—,Arg/、=-Argz2。最后一个式了也应理解为集合相等。S51.7复数的乘幕利用复数的三幷表示，我们也可以表示复数的乘幕:z"=z"(cosArgz+isinArgz)。令厂"=—,则z~n二z"[cos(-Mrgz)+ism(-nArgz)]o(cos&+/sin。)"=cos/7〃+isin“&,进一步有
31、：1<12炽、+isin2k/icos一argz+argz+1nn)/?丿可以看到,k=0,1,2,n-1时，可得n个不同的值,即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上。这样，复数的乘幕可以推广到有理数的情形。1.8复平面的一些初步概念设awC,re（0,+co）,以d为圆心r为半径的圆盘t/（tz,r）定义为{本一询vazwc},以d为圆心厂为半径的闭圆盘t/（d,厂）定义为（z
32、
33、z-«
34、0,t/（a“）cE中有无穷个点，则称a为E的极限点。若对存在r>0,t/（a“）uE，
35、则称a为E的内点；Vr>0,t/（a,JcE屮既有属与£的点，又有不属于E的点，则称a为E的边界点；集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，记为匿。E5E称为E的闭包，记为£。若对存在厂〉0,使得U（a,r）r>E={a}9则称。为E的孤立点（是边界点但不是聚点）。开集：所有点为内点的集合；闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于它。注：任何集合的闭包一定是闭集；如果存在r>0,使得Eut/（0”），贝【淋E是有界集，否则称E是无界集；复平面上的所有闭集称为紧集。2复变函数2.1基本概念设在复平面C上已给点集E,如果有一个法则.f使得=x+3a）=
36、u+iveC同它对应，则称.f为在E上定义了一个复变函数，记为血=/（汰注：同样可以定义函数的定义域和值域；我们也称这样的
